Вариант 2 Найдите корни квадратного трёхчлена: 20x2 - 12x + 1 Разложите на множители квадратный трёхчлен: ' -b² + 2b + 24 Сократите дробь: 4x²+x-5 16x2 - 25

Задание 1: Найти корни квадратного трехчлена

Дано квадратное уравнение: \( 20x^2 - 12x + 1 = 0 \)

Шаг 1: Вычислим дискриминант (D).

Дискриминант вычисляется по формуле: \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 20 \), \( b = -12 \), и \( c = 1 \).

\( D = (-12)^2 - 4 \cdot 20 \cdot 1 = 144 - 80 = 64 \)

Шаг 2: Найдем корни уравнения.

Корни уравнения вычисляются по формулам: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \) и \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \).

\( x_1 = \frac{12 + \sqrt{64}}{2 \cdot 20} = \frac{12 + 8}{40} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} \)

\( x_2 = \frac{12 - \sqrt{64}}{2 \cdot 20} = \frac{12 - 8}{40} = \frac{4}{40} = \frac{1}{10} \)

Ответ: Корни квадратного трехчлена: \( x_1 = \frac{1}{2} \), \( x_2 = \frac{1}{10} \).

Задание 2: Разложить на множители квадратный трехчлен

Дано квадратное уравнение: \( -b^2 + 2b + 24 \)

Шаг 1: Найдем корни квадратного трехчлена, приравняв его к нулю: \( -b^2 + 2b + 24 = 0 \)

Умножим на -1: \( b^2 - 2b - 24 = 0 \)

Шаг 2: Вычислим дискриминант (D).

Дискриминант вычисляется по формуле: \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -2 \), и \( c = -24 \).

\( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 \)

Шаг 3: Найдем корни уравнения.

Корни уравнения вычисляются по формулам: \( b_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \) и \( b_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \).

\( b_1 = \frac{2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)

\( b_2 = \frac{2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Шаг 4: Запишем разложение на множители.

Квадратный трехчлен раскладывается на множители по формуле: \( a(x - x_1)(x - x_2) \).

В нашем случае: \( -(b - 6)(b + 4) \) или \( (6 - b)(b + 4) \)

Ответ: Разложение на множители: \( (6 - b)(b + 4) \).

Задание 3: Сократить дробь

Дана дробь: \( \frac{4x^2 + x - 5}{16x^2 - 25} \)

Шаг 1: Разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного трехчлена \( 4x^2 + x - 5 = 0 \)

Вычислим дискриминант (D):

\( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 9}{8} = \frac{8}{8} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 9}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} \)

Числитель можно представить в виде: \( 4(x - 1)(x + \frac{5}{4}) = (x - 1)(4x + 5) \)

Шаг 2: Разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).

\( 16x^2 - 25 = (4x - 5)(4x + 5) \)

Шаг 3: Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем:

\( \frac{(x - 1)(4x + 5)}{(4x - 5)(4x + 5)} \)

Шаг 4: Сократим дробь, убрав общий множитель \( (4x + 5) \):

\( \frac{x - 1}{4x - 5} \)

Ответ: После сокращения дробь имеет вид: \( \frac{x - 1}{4x - 5} \).