Вариант 3 Найдите неопределенный интеграл 1. ∫(3-1/2x)^6 dx

Для решения неопределенного интеграла ∫(3-1/2x)⁶ dx, используем метод замены переменной.

1. Введем замену:

   $$u = 3 - \frac{1}{2}x$$

2. Найдем производную u по x:

   $$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{2}$$

3. Выразим dx через du:

   $$dx = -2 du$$

4. Подставим u и dx в интеграл:

   $$\int (3 - \frac{1}{2}x)^6 dx = \int u^6 (-2 du) = -2 \int u^6 du$$

5. Найдем интеграл от u⁶:

   $$-2 \int u^6 du = -2 \cdot \frac{u^7}{7} + C = -\frac{2}{7} u^7 + C$$

6. Вернемся к переменной x:

   $$- \frac{2}{7} (3 - \frac{1}{2}x)^7 + C$$

Ответ: $$\int (3 - \frac{1}{2}x)^6 dx = -\frac{2}{7} (3 - \frac{1}{2}x)^7 + C$$