2 вариант 1 Найдите площадь круго и gtien при праничивавией его окружности, опиданного около н равка 6 см. 2 Воислете есм него, gyu ете длину душм окружности с радиусамия 10 сле, если ес равна Toyroyero gy равна площадь соответст секторая ве 3 Периметр квадрато пости, равен 16 дий. описанного около окрут Hairgrenier правилочного периметраль ту же окружность.

Задача 1

Найдите площадь круга и длину окружности, описанного около квадрата со стороной 6 см.

Решение:

Сначала найдем радиус окружности. Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности.

Диагональ квадрата можно найти по формуле: \[d = a\sqrt{2}\]

где \[ a \] - сторона квадрата.

В нашем случае \[ a = 6 \] см, следовательно, \[ d = 6\sqrt{2} \] см.

Радиус окружности равен половине диаметра: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \] см.

Площадь круга вычисляется по формуле: \[ S = \pi r^2 \]

Подставим значение радиуса: \[ S = \pi (3\sqrt{2})^2 = \pi (9 \cdot 2) = 18\pi \] см².

Длина окружности вычисляется по формуле: \[ C = 2\pi r \]

Подставим значение радиуса: \[ C = 2\pi (3\sqrt{2}) = 6\pi\sqrt{2} \] см.

Ответ: Площадь круга равна \[ 18\pi \] см², длина окружности равна \[ 6\pi\sqrt{2} \] см.

Задача 2

Вычислите длину дуги окружности с радиусом 10 см, если площадь соответствующего дуге кругового сектора равна 150°.

Решение:

Сначала переведем градусы в радианы: \[ \alpha = \frac{150\pi}{180} = \frac{5\pi}{6} \] радиан.

Длина дуги вычисляется по формуле: \[ l = r\alpha \]

где \[ r \] - радиус окружности, \[ \alpha \] - угол в радианах.

Подставим значения: \[ l = 10 \cdot \frac{5\pi}{6} = \frac{50\pi}{6} = \frac{25\pi}{3} \] см.

Ответ: Длина дуги равна \[ \frac{25\pi}{3} \] см.

Задача 3

Периметр квадрата, описанного около окружности, равен 16 дм. Найдите периметр правильного пятиугольника, вписанного в ту же окружность.

Решение:

Сначала найдем сторону квадрата. Периметр квадрата равен 16 дм, значит, сторона квадрата равна: \[ a = \frac{16}{4} = 4 \] дм.

Диаметр окружности равен стороне квадрата, поэтому \[ d = 4 \] дм, а радиус \[ r = \frac{d}{2} = 2 \] дм.

Для правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса \[ r \], сторона пятиугольника вычисляется по формуле:

\[ b = 2r \sin(\frac{\pi}{5}) \]

Подставим значение радиуса: \[ b = 2 \cdot 2 \cdot \sin(\frac{\pi}{5}) = 4 \sin(\frac{\pi}{5}) \] дм.

Периметр пятиугольника равен: \[ P = 5b = 5 \cdot 4 \sin(\frac{\pi}{5}) = 20 \sin(\frac{\pi}{5}) \] дм.

Значение \[ \sin(\frac{\pi}{5}) \approx 0.587785 \], поэтому:

\[ P \approx 20 \cdot 0.587785 \approx 11.7557 \] дм.

Ответ: Периметр правильного пятиугольника равен \[ 20 \sin(\frac{\pi}{5}) \approx 11.76 \] дм.