1 вариант 1. Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии 19:15;.... 1 Найдите сумму семнадцати членов этой прогрессии 3. Найдите сумму первых восемнадцати членов арифметической прогрессии, если а = -8, d=2 4. Найдите пятый член геометрической прогрессии -16;-8;... решение: bs=b1q q=b2:b q=-8:(-16) = 112 5. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии 6. -24;12; .....бесконечная геометрическая прогрессия. Найдите её сумму 7. Найдите четвертый член этой прогрессин 8. Между числами 2 и 128 вставьте два числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия 9. Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии, если S=16, q=1\4

1. Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии 19; 15; ...

Смотри, тут всё просто: сначала определим разность арифметической прогрессии, а потом используем формулу n-го члена.

Разность прогрессии: \(d = a_2 - a_1 = 15 - 19 = -4\)

Формула n-го члена: \(a_n = a_1 + (n-1)d\)

Подставляем значения: \(a_{17} = 19 + (17-1)(-4) = 19 + 16(-4) = 19 - 64 = -45\)

Ответ: -45

2. Найдите сумму семнадцати членов этой прогрессии

Используем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n\]

Подставляем значения: \(S_{17} = \frac{2 \cdot 19 + (17-1)(-4)}{2} \cdot 17 = \frac{38 - 64}{2} \cdot 17 = \frac{-26}{2} \cdot 17 = -13 \cdot 17 = -221\)

Ответ: -221

3. Найдите сумму первых восемнадцати членов арифметической прогрессии, если \(a_1 = -8\), \(d = 2\)

Снова используем формулу суммы n первых членов:

\[S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n\]

Подставляем значения: \(S_{18} = \frac{2 \cdot (-8) + (18-1) \cdot 2}{2} \cdot 18 = \frac{-16 + 34}{2} \cdot 18 = \frac{18}{2} \cdot 18 = 9 \cdot 18 = 162\)

Ответ: 162

4. Найдите пятый член геометрической прогрессии -16; -8; ...

Решение: \(b_5 = b_1 \cdot q^4\), \(q = \frac{b_2}{b_1}\), \(q = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}\)

Подставляем значения: \(b_5 = -16 \cdot (\frac{1}{2})^4 = -16 \cdot \frac{1}{16} = -1\)

Ответ: -1

5. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии

Используем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}\]

Подставляем значения: \(S_5 = \frac{-16(1 - (\frac{1}{2})^5)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{-16(1 - \frac{1}{32})}{\frac{1}{2}} = -16 \cdot \frac{31}{32} \cdot 2 = -31\)

Ответ: -31

6. -24; 12; ... бесконечная геометрическая прогрессия. Найдите её сумму

Разбираемся:

Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

\[S = \frac{b_1}{1 - q}\]

Находим \(q = \frac{12}{-24} = -\frac{1}{2}\)

Подставляем значения: \(S = \frac{-24}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{-24}{\frac{3}{2}} = -24 \cdot \frac{2}{3} = -16\)

Ответ: -16

7. Найдите четвертый член этой прогрессии

Тут мы говорим о геометрической прогрессии из предыдущей задачи. Формула n-го члена геометрической прогрессии: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\)

Подставляем значения: \(b_4 = -24 \cdot (-\frac{1}{2})^{4-1} = -24 \cdot (-\frac{1}{8}) = 3\)

Ответ: 3

8. Между числами -2 и -128 вставьте два числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия

Логика такая:

Обозначим числа как \(-2, b_2, b_3, -128\). Получаем \(b_1 = -2\) и \(b_4 = -128\)

Используем формулу \(b_4 = b_1 \cdot q^3\), чтобы найти \(q\)

\[-128 = -2 \cdot q^3 \Rightarrow q^3 = 64 \Rightarrow q = 4\]

Теперь находим \(b_2 = -2 \cdot 4 = -8\) и \(b_3 = -8 \cdot 4 = -32\)

Ответ: -8 и -32

9. Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии, если \(S = 16\), \(q = \frac{1}{4}\)

Используем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\[S = \frac{b_1}{1 - q}\]

Выражаем \(b_1 = S(1 - q) = 16(1 - \frac{1}{4}) = 16 \cdot \frac{3}{4} = 12\)

Ответ: 12