Вариант 1 Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, в которой: a) a, -4, d- 2; б) 41 <-16,5, d- -1,5. Найдите сумму первых пяти, сорока, и членов последователь ности (а), заданной формулой - 3n + 2. 3. Найдите сумму всех чётных чисел, не превышающих 100.

1. Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии.

a) Дано: a₁ = -4, d = 2. Найти: S₁₂.

Используем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n \]

Подставляем известные значения: \[ S_{12} = \frac{2(-4) + (12-1)2}{2} \cdot 12 \]

Вычисляем: \[ S_{12} = \frac{-8 + 22}{2} \cdot 12 = \frac{14}{2} \cdot 12 = 7 \cdot 12 = 84 \]

б) Дано: a₁ = -16.5, d = -1.5. Найти: S₁₂.

Используем ту же формулу: \[ S_{12} = \frac{2(-16.5) + (12-1)(-1.5)}{2} \cdot 12 \]

Вычисляем: \[ S_{12} = \frac{-33 - 16.5}{2} \cdot 12 = \frac{-49.5}{2} \cdot 12 = -24.75 \cdot 12 = -297 \]

Ответ: а) 84; б) -297

2. Найдите сумму первых пяти, сорока, и k членов последовательности (aₙ), заданной формулой aₙ = 3n + 2.

a) Сумма первых пяти членов:

• a₁ = 3(1) + 2 = 5
• a₂ = 3(2) + 2 = 8
• a₃ = 3(3) + 2 = 11
• a₄ = 3(4) + 2 = 14
• a₅ = 3(5) + 2 = 17

Сумма: S₅ = 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 55

б) Сумма первых сорока членов:

Используем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]

• a₁ = 3(1) + 2 = 5
• a₄₀ = 3(40) + 2 = 122

Сумма: \[ S_{40} = \frac{5 + 122}{2} \cdot 40 = \frac{127}{2} \cdot 40 = 127 \cdot 20 = 2540 \]

в) Сумма первых k членов:

Выразим aₖ: aₖ = 3k + 2

Используем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии: \[ S_k = \frac{a_1 + a_k}{2} \cdot k \]

Подставляем: \[ S_k = \frac{5 + (3k + 2)}{2} \cdot k = \frac{3k + 7}{2} \cdot k = \frac{3k^2 + 7k}{2} \]

Ответ: а) 55; б) 2540; в) \(\frac{3k^2 + 7k}{2}\)

3. Найдите сумму всех чётных чисел, не превышающих 100.

Чётные числа: 2, 4, 6, ..., 100.

Это арифметическая прогрессия с a₁ = 2, d = 2, aₙ = 100.

Найдём количество членов: aₙ = a₁ + (n - 1)d, 100 = 2 + (n - 1)2, 98 = (n - 1)2, 49 = n - 1, n = 50.

Сумма: \[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]

Подставляем: \[ S_{50} = \frac{2 + 100}{2} \cdot 50 = \frac{102}{2} \cdot 50 = 51 \cdot 50 = 2550 \]

Ответ: 2550