Вариант 2 1.Найдите второй катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза 17 см, а другой катет 15 см. 2. Диагонали ромба равны 14см. и 48 см. Найдите сторону ромба. 3. В параллелограмме две стороны 12см. и 16 см., а один из углов 150°. Найдите площадь параллелограмма. 4.В треугольнике АВС ∠A = 30°, ∠B = 75°, высота BD равна 6 см. Найдите площадь треугольника АВС 5. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 13 см, основания 10 и 20 см. Найдите площадь трапеции.

1. Пусть \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника, \(c\) - гипотенуза. По теореме Пифагора \(a^2 + b^2 = c^2\). Известно, что \(c = 17\) см, \(a = 15\) см. Тогда:

$$ b^2 = c^2 - a^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64 $$ $$ b = \sqrt{64} = 8 \text{ см} $$

Ответ: 8 см

2. Пусть \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали ромба, \(a\) - сторона ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Тогда по теореме Пифагора:

$$ a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 $$ $$ a^2 = (\frac{14}{2})^2 + (\frac{48}{2})^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 $$ $$ a = \sqrt{625} = 25 \text{ см} $$

Ответ: 25 см

3. Пусть \(a\) и \(b\) - стороны параллелограмма, \(\alpha\) - угол между ними. Площадь параллелограмма равна:

$$ S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) $$

Известно, что \(a = 12\) см, \(b = 16\) см, \(\alpha = 150^\circ\). Тогда:

$$ S = 12 \cdot 16 \cdot \sin(150^\circ) = 12 \cdot 16 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} = 12 \cdot 8 = 96 \text{ см}^2 $$

Ответ: 96 см²

4. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle A = 30^\circ\), \(\angle B = 75^\circ\), \(BD = 6\) см. Найти: \(S_{\triangle ABC}\).

Решение:

1) \(\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ = 75^\circ\).

2) Так как \(\angle B = \angle C\), то \(\triangle ABC\) - равнобедренный, следовательно, \(AB = AC\).

3) Рассмотрим \(\triangle ABD\). \(\sin(\angle A) = \frac{BD}{AB}\), следовательно, \(AB = \frac{BD}{\sin(\angle A)} = \frac{6}{\sin(30^\circ)} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12\) см.

4) \(AC = AB = 12\) см.

5) Площадь треугольника можно найти по формуле \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36\) см².

Ответ: 36 см²

5. Пусть \(a\) и \(b\) - основания равнобедренной трапеции, \(c\) - боковая сторона. Высота трапеции равна:

$$ h = \sqrt{c^2 - (\frac{b - a}{2})^2} = \sqrt{13^2 - (\frac{20 - 10}{2})^2} = \sqrt{169 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см} $$

Площадь трапеции равна:

$$ S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180 \text{ см}^2 $$

Ответ: 180 см²