Вариант 3 1. Найдите значение выражения 4sin(π/6)cos(π/3)+ctg(π/6) - 2tg(π/4) 2. Определите знак значения выражения: 1) sin 221°cos176°tg (-260°); 2) sin(8π/11)ctg(5π/9) 3. Исследуйте на чётность функцию: 1) f(x) = x⁴ - 4ctg x; 2) f(x) = cosx/(1-ctg²x) 4. Найдите значение выражения: 1) ctg(19π/3); 2) cos(-675°). 5. Сравните значения выражений: 1) cos(17π/16) и cos(19π/18); 2) ctg(8π/17) и ctg(7π/15) 6. Постройте график функции f(x) = cos(1/3)x, укажите её промежутки возрастания и убывания. 7. Постройте график функции y = √sinx - 1 - 3.

1. Найдите значение выражения:

4sin(π/6)cos(π/3) + ctg(π/6) - 2tg(π/4)

• sin(π/6) = 1/2
• cos(π/3) = 1/2
• ctg(π/6) = √3
• tg(π/4) = 1

Подставляем значения:

4 * (1/2) * (1/2) + √3 - 2 * 1 = 1 + √3 - 2 = √3 - 1

Ответ: √3 - 1

2. Определите знак значения выражения:

1) sin 221°cos176°tg (-260°)

• sin 221° (III четверть) < 0
• cos 176° (II четверть) < 0
• tg (-260°) = -tg 260° = -tg (180° + 80°) = -tg 80° (I четверть) < 0
• Произведение трех отрицательных чисел < 0

Знак: -

2) sin(8π/11)ctg(5π/9)

• 8π/11 = 8 * 180°/11 ≈ 130.9° (II четверть) > 0
• 5π/9 = 5 * 180°/9 = 100° (II четверть) < 0
• Произведение положительного и отрицательного чисел < 0

Знак: -

3. Исследуйте на чётность функцию:

1) f(x) = x⁴ - 4ctg x

• f(-x) = (-x)⁴ - 4ctg(-x) = x⁴ + 4ctg x ≠ f(x) и ≠ -f(x)
• Функция ни четная, ни нечетная.

2) f(x) = cosx / (1 - ctg²x)

• f(-x) = cos(-x) / (1 - ctg²(-x)) = cos x / (1 - ctg²x) = f(x)
• Функция четная.

4. Найдите значение выражения:

1) ctg(19π/3)

• ctg(19π/3) = ctg(6π + π/3) = ctg(π/3) = 1/√3 = √3/3

2) cos(-675°)

• cos(-675°) = cos(675°) = cos(360° + 315°) = cos(315°) = cos(360° - 45°) = cos(-45°) = cos(45°) = √2/2

5. Сравните значения выражений:

1) cos(17π/16) и cos(19π/18)

• 17π/16 = π + π/16 (III четверть)
• 19π/18 = π + π/18 (III четверть)
• В III четверти функция косинус возрастает.
• π/16 > π/18, значит cos(17π/16) < cos(19π/18)

2) ctg(8π/17) и ctg(7π/15)

• 8π/17 ≈ 0.47π (I четверть)
• 7π/15 ≈ 0.47π (I четверть)
• Функция котангенс в I четверти убывает.
• Нужно сравнить 8/17 и 7/15: 8/17 = 120/255, 7/15 = 119/255.
• Значит, 8/17 > 7/15, следовательно ctg(8π/17) < ctg(7π/15)

6. Постройте график функции f(x) = cos(1/3)x, укажите её промежутки возрастания и убывания.

• Функция возрастает на промежутках, где производная положительна, и убывает, где отрицательна.
• График показывает, что функция возрастает на промежутках [3π + 6πk; 6πk] и убывает на промежутках [6πk; 3π + 6πk].

7. Постройте график функции y = √(sinx - 1) - 3.

Область определения: sinx - 1 ≥ 0 => sinx ≥ 1

Так как sinx ≤ 1, то sinx = 1

sinx = 1 при x = π/2 + 2πk, k ∈ Z

Тогда y = √(1 - 1) - 3 = -3

График представляет собой набор точек (π/2 + 2πk, -3), k ∈ Z