Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика4 вариант 1) Найдите значение выражения: 2sin22x-9cos²2x, если cos2x = - 0,9. 1)-6,91; 2) 11,91; 3) 11,9; 4)-7,9. 2) Найдите cosß, если tgß = 7/24 и в є(π; 3π/2). 1) 0,48; 2) 0,96; 3)-0,48; 4)-0,96. 3) Найдите значение выражения: √10ctga sin(a + π), если cosa = √10/4. 1) 2,5; 2) 5,5; 3) -2,5; 4) 50. 4) Упростите выражение: (1-cos²B) tg2B + 1 - tg2B. 1) 2-tg²B; 2) cos² B; 3) 2tg2B + 1; 4) -cos² B. 5) Вычислите: (cos105°cos15°): cos315°. 1) 0,5; 2) 1,5; 3) √3; 4)-√3.
Ответ:
Задание 1
Найдите значение выражения: 2sin²2x - 9cos²2x, если cos2x = -0.9.
Решение:
Сначала выразим sin²2x через cos²2x, используя основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1.
Тогда sin²2x = 1 - cos²2x.
Подставим это в исходное выражение:
2(1 - cos²2x) - 9cos²2x = 2 - 2cos²2x - 9cos²2x = 2 - 11cos²2x.
Теперь подставим значение cos2x = -0.9:
2 - 11(-0.9)² = 2 - 11(0.81) = 2 - 8.91 = -6.91.
Ответ: 1) -6,91
Ты молодец! У тебя всё получится!
Задание 2
Найдите cosβ, если tgβ = 7/24 и β ∈ (π; 3π/2).
Решение:
Так как β находится в третьей четверти (π < β < 3π/2), то cosβ < 0 и sinβ < 0.
Известно, что tgβ = sinβ / cosβ = 7/24.
Также известно, что sin²β + cos²β = 1.
Выразим sinβ через cosβ из первого уравнения: sinβ = (7/24)cosβ.
Подставим во второе уравнение:
((7/24)cosβ)² + cos²β = 1
(49/576)cos²β + cos²β = 1
(625/576)cos²β = 1
cos²β = 576/625
cosβ = ±√(576/625) = ±24/25 = ±0.96.
Так как cosβ < 0 в третьей четверти, то cosβ = -0.96.
Ответ: 4) -0,96
Ты молодец! У тебя всё получится!
Задание 3
Найдите значение выражения: √(10ctga · sin(α + π)), если cosa = √10/4.
Решение:
Сначала упростим выражение sin(α + π). Используем формулу приведения: sin(α + π) = -sinα.
Тогда выражение примет вид: √(10ctga · (-sinα)) = √(-10ctga · sinα).
Известно, что ctga = cosα / sinα. Тогда выражение можно переписать как:
√(-10(cosα / sinα) · sinα) = √(-10cosα).
Теперь подставим значение cosα = √10/4:
√(-10 · (√10/4)) = √(-10√10/4) = √(-5√10/2).
Извините, но выражение √(-5√10/2) не имеет действительных решений, так как под корнем отрицательное число.
Давайте перепроверим условие. Возможно, есть опечатка. Предположим, что cosα = 4/√10. Тогда
√(-10cosα) = √(-10 * (4/√10)) = √(-40/√10) = √(-4√10). Это тоже не имеет действительных решений.
Предположим, что в условии опечатка и нужно найти √(-10ctga · sin(α + π)), если cosa = 4/10.
√(-10ctga · (-sinα)) = √(10ctga · sinα) = √(10 * (cosα/sinα) * sinα) = √(10cosα)
√(10 * (4/10)) = √4 = 2. Но такого ответа нет. Давайте попробуем найти sinα.
sin²α + cos²α = 1; sin²α = 1 - cos²α = 1 - (4/10)² = 1 - 16/100 = 84/100 = 21/25
sinα = √(21/25) = √21 / 5.
tgα = sinα / cosα = (√21 / 5) / (4/10) = (√21 / 5) * (10 / 4) = 2.5 * √21 / 5 = (5√21) / 20 = √21 / 4
ctga = 4 / √21
√10ctga * sin(α + π) = √10 * (4/√21) * (- √21 / 5) = √10 * (4/√21) * (- √21 / 5) = √(10 * (16/21) * (21/25)) = √(10 * 16 / 25) = √(160 / 25) = √(32 / 5) = 4√(2/5) = 4 * √10 / 5 = 1. Но такого ответа нет.
Судя по предложенным вариантам, в условии ошибка. Наиболее близкий ответ, если предположить, что cosa = \(\frac{\sqrt{10}}{4}\), то:
\( \sqrt{10 \cdot \frac{cos \alpha}{sin \alpha} \cdot (-sin \alpha)} = \sqrt{-10 cos \alpha} = \sqrt{-10 \cdot \frac{\sqrt{10}}{4}} = \sqrt{\frac{-10\sqrt{10}}{4}} = \sqrt{\frac{-5\sqrt{10}}{2}} \)Если бы было \(cos\alpha = \frac{\sqrt{10}}{5}\), то: \( \sqrt{-10 cos \alpha} = \sqrt{-10 \cdot \frac{\sqrt{10}}{5}} = \sqrt{-2\sqrt{10}} \)
С учетом вариантов ответа, попробуем, чтобы под корнем вышло 6.25: если под корнем было 6.25, а было умножено на -10, то cos должен быть -0,625. Ближайший вариант ответа 3) -2,5, значит:
\(\sqrt{-10cos\alpha} = -2.5\). Возвести в квадрат (-2,5)^2 = 6.25. \(6.25 = -10cos\alpha\), значит \(cos\alpha = -0.625\). Ответ не совпадает ни с чем.
В условии ошибка. Нет подходящего ответа.
Задание 4
Упростите выражение: (1 - cos²β) tg²β + 1 - tg²β.
Решение:
Сначала упростим выражение (1 - cos²β). Из основного тригонометрического тождества sin²β + cos²β = 1, следует, что 1 - cos²β = sin²β.
Тогда исходное выражение можно переписать как: sin²β · tg²β + 1 - tg²β.
Выразим tg²β через sin²β и cos²β: tg²β = sin²β / cos²β.
Подставим это в выражение: sin²β · (sin²β / cos²β) + 1 - sin²β / cos²β.
Преобразуем: (sin⁴β / cos²β) + 1 - sin²β / cos²β = (sin⁴β - sin²β + cos²β) / cos²β.
Объединим sin⁴β и sin²β в sin²β(sin²β - 1) = sin²β(-cos²β) = -sin²βcos²β
(-sin²βcos²β + cos²β)/cos²β = cos²β(1 - sin²β)/cos²β = 1 - sin²β = cos²β
Ответ: 2) cos²β
Ты молодец! У тебя всё получится!
Задание 5
Вычислите: (cos105° - cos15°) : cos315°.
Решение:
Сначала упростим числитель cos105° - cos15°. Используем формулу разности косинусов:
cosα - cosβ = -2sin((α + β)/2)sin((α - β)/2).
В нашем случае α = 105°, β = 15°.
Тогда cos105° - cos15° = -2sin((105° + 15°)/2)sin((105° - 15°)/2) = -2sin(60°)sin(45°).
sin60° = √3/2, sin45° = √2/2.
cos105° - cos15° = -2(√3/2)(√2/2) = -√6/2.
Теперь найдем cos315°. cos315° = cos(360° - 45°) = cos(-45°) = cos45° = √2/2.
Исходное выражение: (-√6/2) / (√2/2) = -√6/2 * 2/√2 = -√6/√2 = -√3.
Ответ: 4) -√3
Ты молодец! У тебя всё получится!
