Вариант 4 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 1. y = x², y = 0,x = 3 2. y = -x²-2x, y = 0 3. y = 2x² + 1, y = 3

1. y = x², y = 0, x = 3

• Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x², осью Ox и прямой x = 3, вычисляется как определенный интеграл от функции y = x² в пределах от 0 до 3.

Площадь S = ∫[0,3] x² dx

• Вычислим интеграл:

∫ x² dx = (x³/3) + C

• Применим границы интегрирования:

S = (3³/3) - (0³/3) = (27/3) - 0 = 9 Площадь S = 9

2. y = -x² - 2x, y = 0

• Найдём точки пересечения графика функции y = -x² - 2x с осью Ox, то есть решим уравнение -x² - 2x = 0.

-x² - 2x = 0 -x(x + 2) = 0 x = 0 или x = -2

• Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = -x² - 2x и осью Ox, вычисляется как определенный интеграл от функции y = -x² - 2x в пределах от -2 до 0.

Площадь S = ∫[-2,0] (-x² - 2x) dx

• Вычислим интеграл:

∫ (-x² - 2x) dx = (-x³/3) - x² + C

• Применим границы интегрирования:

S = [(-0³/3) - 0²] - [(-(-2)³/3) - (-2)²] = 0 - [(8/3) - 4] = 0 - (8/3 - 12/3) = 0 - (-4/3) = 4/3 Площадь S = 4/3

3. y = 2x² + 1, y = 3

• Найдём точки пересечения графиков функций y = 2x² + 1 и y = 3, то есть решим уравнение 2x² + 1 = 3.

2x² + 1 = 3 2x² = 2 x² = 1 x = -1 или x = 1

• Площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 2x² + 1 и y = 3, вычисляется как определенный интеграл от разности функций y = 3 и y = 2x² + 1 в пределах от -1 до 1.

Площадь S = ∫[-1,1] (3 - (2x² + 1)) dx = ∫[-1,1] (2 - 2x²) dx

• Вычислим интеграл:

∫ (2 - 2x²) dx = 2x - (2x³/3) + C

• Применим границы интегрирования:

S = [2(1) - (2(1)³/3)] - [2(-1) - (2(-1)³/3)] = [2 - (2/3)] - [-2 + (2/3)] = 2 - 2/3 + 2 - 2/3 = 4 - 4/3 = 12/3 - 4/3 = 8/3 Площадь S = 8/3

Ответ: 1) 9, 2) 4/3, 3) 8/3