Вариант 8 1)Найти пятый член геометрической прогрессии, если в₁=81; q= 1 3 2) Найти номер подчеркнутого члена геометрической прогрессии: 1 -64;-32;...; ... 3) Найти знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых пяти членов, если b6 =9; b4=36.

Вариант 8

1) Найти пятый член геометрической прогрессии, если b₁=81; q=1/3

• Шаг 1: Записываем формулу для n-го члена геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \)
• Шаг 2: Подставляем известные значения: \( b_5 = 81 \cdot (\frac{1}{3})^{5-1} \)
• Шаг 3: Упрощаем выражение: \( b_5 = 81 \cdot (\frac{1}{3})^4 \)
• Шаг 4: Вычисляем степень: \( b_5 = 81 \cdot \frac{1}{81} \)
• Шаг 5: Находим пятый член: \( b_5 = 1 \)

Ответ: 1

2) Найти номер подчеркнутого члена геометрической прогрессии: -64; -32; ...; 1/2; ...

• Шаг 1: Находим знаменатель прогрессии: \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-32}{-64} = \frac{1}{2} \)
• Шаг 2: Записываем формулу для n-го члена: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \)
• Шаг 3: Подставляем известные значения: \( \frac{1}{2} = -64 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} \)
• Шаг 4: Преобразуем уравнение: \( (\frac{1}{2})^1 = -2^6 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} \)
• Шаг 5: Делим обе части на -64: \( -\frac{1}{128} = (\frac{1}{2})^{n-1} \)
• Шаг 6: \( -\frac{1}{2^7} = (\frac{1}{2})^{n-1} \)

Так как \(b_1\) отрицательный, то прогрессия является знакочередующейся. Подчеркнутый член положительный, значит номер члена должен быть четным. Однако, в уравнении \( -\frac{1}{128} = (\frac{1}{2})^{n-1} \) левая часть отрицательная, а правая всегда положительная, поэтому уравнение не имеет решений. Скорее всего, в условии закралась ошибка, и член прогрессии должен быть равен \( \frac{1}{128} \).

• Шаг 7: Подставляем известные значения: \( \frac{1}{128} = -64 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} \)
• Шаг 8: \( (\frac{1}{2})^7 = -2^6 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} \)
• Шаг 9: \( -\frac{1}{2^{13}} = (\frac{1}{2})^{n-1} \)

Т.к. \(b_1\) отрицательный, то прогрессия является знакочередующейся. Подчеркнутый член положительный, значит номер члена должен быть четным. Однако, в уравнении \( -\frac{1}{2^{13}} = (\frac{1}{2})^{n-1} \) левая часть отрицательная, а правая всегда положительная, поэтому уравнение не имеет решений.

3) Найти знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых пяти членов, если b₆ = 9; b₄ = 36.

• Шаг 1: Записываем формулу для b₆ и b₄:
  • \( b_6 = b_1 \cdot q^5 = 9 \)
  • \( b_4 = b_1 \cdot q^3 = 36 \)
• Шаг 2: Делим первое уравнение на второе: \( \frac{b_1 \cdot q^5}{b_1 \cdot q^3} = \frac{9}{36} \)
• Шаг 3: Упрощаем: \( q^2 = \frac{1}{4} \)
• Шаг 4: Находим q: \( q = \pm \frac{1}{2} \)
• Случай 1:\( q = \frac{1}{2} \)
• Шаг 5: Находим b₁: \( b_1 = \frac{36}{(\frac{1}{2})^3} = 36 \cdot 8 = 288 \)
• Шаг 6: Считаем сумму 5 членов: \( S_5 = \frac{b_1(1-q^5)}{1-q} = \frac{288(1-(\frac{1}{2})^5)}{1-\frac{1}{2}} = 288 \cdot \frac{1-\frac{1}{32}}{\frac{1}{2}} = 576 \cdot \frac{31}{32} = 558 \)
• Случай 2:\( q = -\frac{1}{2} \)
• Шаг 7: Находим b₁: \( b_1 = \frac{36}{(-\frac{1}{2})^3} = 36 \cdot (-8) = -288 \)
• Шаг 8: Считаем сумму 5 членов: \( S_5 = \frac{b_1(1-q^5)}{1-q} = \frac{-288(1-(-\frac{1}{2})^5)}{1-(-\frac{1}{2})} = -288 \cdot \frac{1+\frac{1}{32}}{\frac{3}{2}} = -288 \cdot \frac{33}{32} \cdot \frac{2}{3} = -198 \)

Ответ: q = 1/2, S₅ = 558; q = -1/2, S₅ = -198