Вариант 1 1.Найти скалярное произведение векторов a(2;-1; 4), 6(3; 2; -1); 2. Вектора перпендикулярны. Найти т a(2;-4; m), 6(3;-1; 5). 3. Даны точки А(3;-2;1), В(-2;1;3), C(1;3;-2). Найдите угол между векторами ВА И ВС. 4. Дан треугольник АВС с вершинами A(2;2;2), B(2;2;0), C(2;0;2). Докажите, что данный треугольник - моугольный, и назовите его прямой угол.

Вариант 1

1. Найти скалярное произведение векторов \(\vec{a}(2;-1; 4)\) и \(\vec{b}(3; 2; -1)\).

Давай вспомним, что скалярное произведение двух векторов \(\vec{a}(x_1, y_1, z_1)\) и \(\vec{b}(x_2, y_2, z_2)\) вычисляется по формуле: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\] В нашем случае: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = (2 \cdot 3) + (-1 \cdot 2) + (4 \cdot -1) = 6 - 2 - 4 = 0\]

Ответ: 0

2. Векторы перпендикулярны. Найти m, если \(\vec{a}(2;-4; m)\) и \(\vec{b}(3;-1; 5)\).

Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Используем формулу скалярного произведения: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0\] Подставим наши значения: \[(2 \cdot 3) + (-4 \cdot -1) + (m \cdot 5) = 0\] \[6 + 4 + 5m = 0\] \[10 + 5m = 0\] \[5m = -10\] \[m = -2\]

Ответ: m = -2

3. Даны точки \(A(3;-2;1)\), \(B(-2;1;3)\), \(C(1;3;-2)\). Найдите угол между векторами \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\).

Сначала найдем координаты векторов \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\): \[\vec{BA} = A - B = (3 - (-2); -2 - 1; 1 - 3) = (5; -3; -2)\] \[\vec{BC} = C - B = (1 - (-2); 3 - 1; -2 - 3) = (3; 2; -5)\] Теперь найдем скалярное произведение векторов \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\): \[\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (5 \cdot 3) + (-3 \cdot 2) + (-2 \cdot -5) = 15 - 6 + 10 = 19\] Далее найдем длины векторов \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\): \[|\vec{BA}| = \sqrt{5^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 9 + 4} = \sqrt{38}\] \[|\vec{BC}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 4 + 25} = \sqrt{38}\] Теперь найдем косинус угла между векторами \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\): \[\cos(\alpha) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{19}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{38}} = \frac{19}{38} = \frac{1}{2}\] Значит, угол \(\alpha\) равен: \[\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ\]

Ответ: 60°

4. Дан треугольник \(ABC\) с вершинами \(A(2;2;2)\), \(B(2;2;0)\), \(C(2;0;2)\). Докажите, что данный треугольник — прямоугольный, и назовите его прямой угол.

Сначала найдем длины сторон треугольника: \[AB = \sqrt{(2-2)^2 + (2-2)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{0 + 0 + 4} = 2\] \[BC = \sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\] \[AC = \sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{0 + 4 + 0} = 2\] Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для этого треугольника: \[AB^2 + AC^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\] \[BC^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8\] Так как \(AB^2 + AC^2 = BC^2\), треугольник \(ABC\) является прямоугольным с прямым углом \(\angle A\).

Ответ: Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом A.

Отлично! Ты справился со всеми задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!