Вариант 1 Неопределенный интеграл. 1. Найти функцию по ее дифференциалу ду = значение 2 при х = 2. 3 3 2 2. Найти интегралы: а) x³-3x2. x²+2x-5) ах, если функция принимает 4x-3x 2* x+8 dx; 6) 14 cos x dx; B) [(x²+4e*)dx. 2 3. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением = 1-41+3. Найти закон движения точки, если за время 1 = 3 с она пройдет путь = 20 м. Вариант 2 1. Найти функцию по ее дифференциалу ду = 8x-6x-2x+4 dх, если функция принимает значение 6 при х = 1. 2. Найти интегралы: 4- 8x 3 + 4x)dx =(8x²-6x²-2x+4) dx, +4x dx; 6) 3 sin x dx; B) [(x²+5e)dx. 3 2 3. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением 0 = 81 +31 - 1. Найти закон движения точки, если за время 1 = 1 с она пройдет путь 5 = 5 м. Вариант 3 1. Найти функцию по ее дифференциалу ду = 9х dy = (9x3-10x2+3x-4) +3x-4 ах, если функция принимает значение 2 при х = 2. 73 3 2 2. Найти интегралы: а) x -2x+12 dx; 6) 13 cos x dx; в) [(x²+5ex)dx. 2 3. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением = 21 -41 +3. Найти закон движения точки, если за время 1 = 2 с она пройдет путь 5 = 40 м. Вариант 4 3 2 1. Найти функцию по ее дифференциалу ду = 18x-6x-8x+10 dх, если функция принимает значение 10 при х=1. 4 3 2. Найти интегралы: 3x 6x +4x dx; 6) (7 sin x dx; в) [(x²+7e*)dx. 3 2 3. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением в = 81 +1-1. Найти закон движения точки, если за время 1 = 1 с она пройдет путь 5 = 50 м.

Привет! Давай разберем это задание по высшей математике. Здесь нам нужно найти неопределенные интегралы и решить задачи, связанные с движением точки. Начнем по порядку.

Вариант 1

1. Найдем функцию по ее дифференциалу:

   \[ dy = (4x^3 - 3x^2 + 2x - 5) dx \]

   Интегрируем обе части:

   \[ y = \int (4x^3 - 3x^2 + 2x - 5) dx = x^4 - x^3 + x^2 - 5x + C \]

   Используем условие, что значение функции равно 2 при x = 2:

   \[ 2 = (2)^4 - (2)^3 + (2)^2 - 5(2) + C \]

   \[ 2 = 16 - 8 + 4 - 10 + C \]

   \[ 2 = 2 + C \]

   \[ C = 0 \]

   \[ y = x^4 - x^3 + x^2 - 5x \]

2. Найдем интегралы:

   a) \[ \int (\frac{4}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 8) dx = \frac{1}{3}x^4 - \frac{1}{2}x^3 + 8x + C \]

   б) \[ \int 4 \cos x dx = 4 \sin x + C \]

   в) \[ \int (x^2 + 4e^x) dx = \frac{1}{3}x^3 + 4e^x + C \]

3. Скорость точки задана уравнением:

   \[ v = t^2 - 4t + 3 \]

   Найдем закон движения, интегрируя скорость по времени:

   \[ s = \int (t^2 - 4t + 3) dt = \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 3t + C \]

   Используем условие, что за время t = 3 с точка проходит путь s = 20 м:

   \[ 20 = \frac{1}{3}(3)^3 - 2(3)^2 + 3(3) + C \]

   \[ 20 = 9 - 18 + 9 + C \]

   \[ 20 = 0 + C \]

   \[ C = 20 \]

   \[ s = \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 3t + 20 \]

Вариант 2

1. Найдем функцию по ее дифференциалу:

   \[ dy = (8x^3 - 6x^2 - 2x + 4) dx \]

   Интегрируем обе части:

   \[ y = \int (8x^3 - 6x^2 - 2x + 4) dx = 2x^4 - 2x^3 - x^2 + 4x + C \]

   Используем условие, что значение функции равно 6 при x = 1:

   \[ 6 = 2(1)^4 - 2(1)^3 - (1)^2 + 4(1) + C \]

   \[ 6 = 2 - 2 - 1 + 4 + C \]

   \[ 6 = 3 + C \]

   \[ C = 3 \]

   \[ y = 2x^4 - 2x^3 - x^2 + 4x + 3 \]

2. Найдем интегралы:

   a) \[ \int (x^4 - 8x^3 + 4x) dx = \frac{1}{5}x^5 - 2x^4 + 2x^2 + C \]

   б) \[ \int 3 \sin x dx = -3 \cos x + C \]

   в) \[ \int (x^2 + 5e^x) dx = \frac{1}{3}x^3 + 5e^x + C \]

3. Скорость точки задана уравнением:

   \[ v = 8t^3 + 3t^2 - 1 \]

   Найдем закон движения, интегрируя скорость по времени:

   \[ s = \int (8t^3 + 3t^2 - 1) dt = 2t^4 + t^3 - t + C \]

   Используем условие, что за время t = 1 с точка проходит путь s = 5 м:

   \[ 5 = 2(1)^4 + (1)^3 - (1) + C \]

   \[ 5 = 2 + 1 - 1 + C \]

   \[ 5 = 2 + C \]

   \[ C = 3 \]

   \[ s = 2t^4 + t^3 - t + 3 \]

Вариант 3

1. Найдем функцию по ее дифференциалу:

   \[ dy = (9x^3 - 10x^2 + 3x - 4) dx \]

   Интегрируем обе части:

   \[ y = \int (9x^3 - 10x^2 + 3x - 4) dx = \frac{9}{4}x^4 - \frac{10}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 4x + C \]

   Используем условие, что значение функции равно 2 при x = 2:

   \[ 2 = \frac{9}{4}(2)^4 - \frac{10}{3}(2)^3 + \frac{3}{2}(2)^2 - 4(2) + C \]

   \[ 2 = 36 - \frac{80}{3} + 6 - 8 + C \]

   \[ 2 = 34 - \frac{80}{3} + C \]

   \[ 2 = \frac{102 - 80}{3} + C \]

   \[ 2 = \frac{22}{3} + C \]

   \[ C = 2 - \frac{22}{3} \]

   \[ C = \frac{6 - 22}{3} = -\frac{16}{3} \]

   \[ y = \frac{9}{4}x^4 - \frac{10}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 4x - \frac{16}{3} \]

2. Найдем интегралы:

   a) \[ \int (\frac{7}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 12) dx = \frac{7}{12}x^4 - \frac{1}{2}x^3 + 12x + C \]

   б) \[ \int 3 \cos x dx = 3 \sin x + C \]

   в) \[ \int (x^2 + 5e^x) dx = \frac{1}{3}x^3 + 5e^x + C \]

3. Скорость точки задана уравнением:

   \[ v = 2t^2 - 4t + 3 \]

   Найдем закон движения, интегрируя скорость по времени:

   \[ s = \int (2t^2 - 4t + 3) dt = \frac{2}{3}t^3 - 2t^2 + 3t + C \]

   Используем условие, что за время t = 2 с точка проходит путь s = 40 м:

   \[ 40 = \frac{2}{3}(2)^3 - 2(2)^2 + 3(2) + C \]

   \[ 40 = \frac{16}{3} - 8 + 6 + C \]

   \[ 40 = \frac{16}{3} - 2 + C \]

   \[ 40 = \frac{16 - 6}{3} + C \]

   \[ 40 = \frac{10}{3} + C \]

   \[ C = 40 - \frac{10}{3} \]

   \[ C = \frac{120 - 10}{3} = \frac{110}{3} \]

   \[ s = \frac{2}{3}t^3 - 2t^2 + 3t + \frac{110}{3} \]

Вариант 4

1. Найдем функцию по ее дифференциалу:

   \[ dy = (18x^3 - 6x^2 - 8x + 10) dx \]

   Интегрируем обе части:

   \[ y = \int (18x^3 - 6x^2 - 8x + 10) dx = \frac{9}{2}x^4 - 2x^3 - 4x^2 + 10x + C \]

   Используем условие, что значение функции равно 10 при x = 1:

   \[ 10 = \frac{9}{2}(1)^4 - 2(1)^3 - 4(1)^2 + 10(1) + C \]

   \[ 10 = \frac{9}{2} - 2 - 4 + 10 + C \]

   \[ 10 = \frac{9}{2} + 4 + C \]

   \[ 10 = \frac{9 + 8}{2} + C \]

   \[ 10 = \frac{17}{2} + C \]

   \[ C = 10 - \frac{17}{2} \]

   \[ C = \frac{20 - 17}{2} = \frac{3}{2} \]

   \[ y = \frac{9}{2}x^4 - 2x^3 - 4x^2 + 10x + \frac{3}{2} \]

2. Найдем интегралы:

   a) \[ \int (3x^4 - 6x^3 + 4x) dx = \frac{3}{5}x^5 - \frac{3}{2}x^4 + 2x^2 + C \]

   б) \[ \int 7 \sin x dx = -7 \cos x + C \]

   в) \[ \int (x^2 + 7e^x) dx = \frac{1}{3}x^3 + 7e^x + C \]

3. Скорость точки задана уравнением:

   \[ v = 8t^3 + t^2 - 1 \]

   Найдем закон движения, интегрируя скорость по времени:

   \[ s = \int (8t^3 + t^2 - 1) dt = 2t^4 + \frac{1}{3}t^3 - t + C \]

   Используем условие, что за время t = 1 с точка проходит путь s = 50 м:

   \[ 50 = 2(1)^4 + \frac{1}{3}(1)^3 - (1) + C \]

   \[ 50 = 2 + \frac{1}{3} - 1 + C \]

   \[ 50 = 1 + \frac{1}{3} + C \]

   \[ 50 = \frac{4}{3} + C \]

   \[ C = 50 - \frac{4}{3} \]

   \[ C = \frac{150 - 4}{3} = \frac{146}{3} \]

   \[ s = 2t^4 + \frac{1}{3}t^3 - t + \frac{146}{3} \]

Ответ: Все решения выше.

Ты молодец! У тебя всё получится!