Вариант 1 Одна из сторон параллелограмма в 3 раза меньше другой, а его периметр равен 72 см. Найдите стороны параллелограмма. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, АВ = 10 см, BD = 12 см. Найдите периметр треугольника COD. Один из углов ромба равен 64°. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями. На диагонали BD параллелограмма ABCD отметили точки Ми К так, что ∠BAM = ∠DCK (точка М лежит между точками В и К). До- кажите, что BM = DK. Биссектриса угла D параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке М, ВM : MC = 4: 3. Найдите периметр параллелограмма, если ВС = 28 см. Через середину К гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведены прямые, параллельные его катетам. Одна из них пересекает катет АС в точке D, а другая - катет ВС в точке Е. Найдите отрезок DE, если АВ = 12 см. Вариант 2 Одна из сторон параллелограмма на 7 см меньше другой, а его периметр равен 54 см. Найдите стороны параллелограмма. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О, ВС = 16 см АС = 24 см. Найдите периметр треугольника AOD. Сторона ромба образует с одной из его диагоналей угол 18°. Найдите углы ромба. На диагонали АС параллелограмма ABCD отметили точки Е и F так, что АЕ = CF (точка Е лежит между точками А и F). Докажите, что BE = DF. Биссектриса угла В параллелограмма ABCD пересекает сторону АD в точке К, АК: KD = 3: 2. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 12 см. Через середину О гипотенузы АВ прямоугольного треугольника А

Начнем решать задачи.

Вариант 1

1. Пусть одна сторона параллелограмма равна x см, тогда другая сторона равна 3x см. Периметр параллелограмма равен 2(x + 3x) = 8x см. По условию, периметр равен 72 см. Составим уравнение:

   $$8x = 72$$

   $$x = 9$$

   Тогда одна сторона равна 9 см, а другая 3 × 9 = 27 см.

   Ответ: 9 см, 27 см.

2. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, OC = OD = BD/2 = 12/2 = 6 см.

   Периметр треугольника COD равен OC + OD + CD = 6 + 6 + 10 = 22 см.

   Ответ: 22 см.

3. Пусть сторона ромба равна a, а диагонали ромба d₁ и d₂. Один из углов ромба равен 64°. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому угол между стороной ромба и одной из его диагоналей равен 64°/2 = 32°.

   Угол между стороной ромба и другой диагональю равен 90° - 32° = 58°.

   Ответ: 32°, 58°.

4. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Пусть O – точка пересечения диагоналей. Тогда BO = OD.

   По условию, ∠BAM = ∠DCK. Рассмотрим треугольники BAM и DCK. У них:

   • AB = CD (как противоположные стороны параллелограмма);
   • ∠ABM = ∠CDK (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD);
   • ∠BAM = ∠DCK (по условию).

   Следовательно, треугольники BAM и DCK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

   Из равенства треугольников следует, что BM = DK.

   Ответ: Доказано, что BM = DK.

5. Пусть BM = 4x, тогда MC = 3x. Так как BC = 28 см, то 4x + 3x = 28, откуда 7x = 28 и x = 4.

   Тогда BM = 4 × 4 = 16 см, а MC = 3 × 4 = 12 см.

   Биссектриса угла D параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник CDM, следовательно, CD = MC = 12 см.

   Периметр параллелограмма равен 2(BC + CD) = 2(28 + 12) = 2 × 40 = 80 см.

   Ответ: 80 см.

6. Пусть K – середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Проведены прямые, параллельные его катетам. Одна из них пересекает катет AC в точке D, а другая – катет BC в точке E. Тогда CDKE – прямоугольник, и DE = CK.

   В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Следовательно, CK = AB/2 = 12/2 = 6 см.

   Тогда DE = 6 см.

   Ответ: 6 см.

Вариант 2

1. Пусть одна сторона параллелограмма равна x см, тогда другая сторона равна x + 7 см. Периметр параллелограмма равен 2(x + x + 7) = 4x + 14 см. По условию, периметр равен 54 см. Составим уравнение:

   $$4x + 14 = 54$$

   $$4x = 40$$

   $$x = 10$$

   Тогда одна сторона равна 10 см, а другая 10 + 7 = 17 см.

   Ответ: 10 см, 17 см.

2. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, AO = AC/2 = 24/2 = 12 см, OD = BD/2 = AC/2 = 12 см.

   Периметр треугольника AOD равен AO + OD + AD = 12 + 12 + 16 = 40 см.

   Ответ: 40 см.

3. Пусть сторона ромба равна a, а диагонали ромба d₁ и d₂. Сторона ромба образует с одной из его диагоналей угол 18°. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому один из углов ромба равен 18° × 2 = 36°.

   В ромбе противоположные углы равны. Сумма соседних углов ромба равна 180°. Следовательно, другой угол ромба равен 180° - 36° = 144°.

   Ответ: 36°, 144°.

4. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Пусть O – точка пересечения диагоналей. Тогда AO = OC.

   По условию, AE = CF. Рассмотрим треугольники AEB и CFD. У них:

   • AE = CF (по условию);
   • AB = CD (как противоположные стороны параллелограмма);
   • ∠BAE = ∠DCF (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC).

   Следовательно, треугольники AEB и CFD равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

   Из равенства треугольников следует, что BE = DF.

   Ответ: Доказано, что BE = DF.

5. Пусть AK = 3x, тогда KD = 2x. Так как AD = AK + KD, то AD = 3x + 2x = 5x.

   Биссектриса угла B параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ABK, следовательно, AB = AK = 12 см.

   Тогда AD = 5x, где AK = 3x = 12, следовательно, x = 4, и AD = 5 × 4 = 20 см.

   Периметр параллелограмма равен 2(AB + AD) = 2(12 + 20) = 2 × 32 = 64 см.

   Ответ: 64 см.