4 ВАРИАНТ 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12, высота призмы равна 8. Найдите площадь ее поверхности. 2. В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 20 и 48. Площадь ее поверхности равна 3352. Найдите боковое ребро этой призмы. 3. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Площадь ее поверхности равна 132. Найдите высоту призмы. 4. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 6, а высота — 7. 5. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 47. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Решим каждое задание по порядку.

1. Площадь поверхности призмы состоит из площади боковой поверхности и площадей двух оснований.

   Основание - прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12. Площадь основания:

   $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54$$

   Боковая поверхность состоит из трех прямоугольников, стороны которых - высота призмы и катеты/гипотенуза основания. Найдем гипотенузу основания:

   $$c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$$

   Площадь боковой поверхности:

   $$S_{бок} = 8 \cdot 9 + 8 \cdot 12 + 8 \cdot 15 = 72 + 96 + 120 = 288$$

   Площадь всей поверхности:

   $$S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 54 + 288 = 108 + 288 = 396$$

   Ответ: 396

2. Площадь поверхности прямой призмы состоит из площади боковой поверхности и площадей двух оснований.

   Основание - ромб с диагоналями 20 и 48. Площадь основания:

   $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 48 = 480$$

   Площадь всей поверхности равна 3352.

   $$S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$$

   $$3352 = 2 \cdot 480 + S_{бок}$$
   $$S_{бок} = 3352 - 960 = 2392$$

   Сторона ромба:

   $$a = \sqrt{(\frac{20}{2})^2 + (\frac{48}{2})^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$$

   Периметр основания:

   $$P = 4 \cdot 26 = 104$$

   Площадь боковой поверхности:

   $$S_{бок} = P \cdot h$$

   Отсюда боковое ребро:

   $$h = \frac{S_{бок}}{P} = \frac{2392}{104} = 23$$

   Ответ: 23

3. Основание - прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Площадь основания:

   $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$$

   Площадь ее поверхности равна 132.

   $$S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$$
   $$132 = 2 \cdot 6 + S_{бок}$$
   $$S_{бок} = 132 - 12 = 120$$

   Найдем гипотенузу основания:

   $$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

   Периметр основания:

   $$P = 3 + 4 + 5 = 12$$

   Площадь боковой поверхности:

   $$S_{бок} = P \cdot h$$

   Отсюда высота призмы:

   $$h = \frac{S_{бок}}{P} = \frac{120}{12} = 10$$

   Ответ: 10

4. Сторона основания равна 6, высота - 7.

   Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы:

   $$S_{бок} = P \cdot h$$

   Периметр основания:

   $$P = 6 \cdot 6 = 36$$

   $$S_{бок} = 36 \cdot 7 = 252$$

   Ответ: 252

5. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 47.

   Плоскость проходит через среднюю линию основания, значит, отсекается призма, подобная исходной с коэффициентом подобия k = 1/2.

   Площади боковых поверхностей относятся как квадраты коэффициента подобия:

   $$\frac{S_{отс}}{S_{исх}} = k^2$$
   $$S_{исх} = \frac{S_{отс}}{k^2} = \frac{47}{\frac{1}{4}} = 47 \cdot 4 = 188$$

   Ответ: 188