1 ВАРИАНТ 1. Отрезки КЕ и М№ пересекаются в точке О, так что отрезок КМ параллелен отрезку NE. Докажите, что треугольники КМО и NEO подобны. Найдите КМ, если ON=6см, МО-12см, NE=18см. 2. В подобных треугольниках АВС и КМТ стороны АВ и КМ являются сходственными. Найдите стороны треугольника КМТ, если АВ-4см, ВС-6см, СА-8см, КМ: АВ=1,6. Найдите отношение площадей треугольников. 3. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки К и Е так, что АК-КВ, ВЕ-СЕ, КЕ-6см. Найдите сторону АС. 4. Площади двух подобных треугольников АВС и МПК равны 25 и 16. Найдите сторону АС, если сходственная ей сторона МК другого треугольника равна 2.

1. Отрезки KE и MN пересекаются в точке O, KM || NE

Давай разберем по порядку. Сначала докажем подобие треугольников KMO и NEO.

1. ∠KMO = ∠NEO (как соответственные углы при KM || NE и секущей ME)
2. ∠KOM = ∠EON (как вертикальные углы)

Следовательно, треугольники KMO и NEO подобны по двум углам.

Теперь найдем KM, зная ON = 6 см, MO = 12 см, NE = 18 см. Из подобия треугольников следует:

\[\frac{KM}{NE} = \frac{MO}{ON}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{KM}{18} = \frac{12}{6}\] \[KM = \frac{12 \cdot 18}{6} = 36\]

KM = 36 см

Ответ: KM = 36 см

2. Подобные треугольники ABC и KMT

Давай найдем стороны треугольника KMT, если AB = 4 см, BC = 6 см, CA = 8 см, KM : AB = 1,6.

Так как треугольники подобны, то:

\[\frac{KM}{AB} = \frac{MT}{BC} = \frac{KT}{AC} = 1.6\]

Следовательно:

\[MT = 1.6 \cdot BC = 1.6 \cdot 6 = 9.6 \text{ см}\] \[KT = 1.6 \cdot AC = 1.6 \cdot 8 = 12.8 \text{ см}\]

Теперь найдем отношение площадей треугольников. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_{ABC}}{S_{KMT}} = (1.6)^2 = 2.56\]

Отношение площадей треугольников ABC и KMT равно 2,56.

Ответ: MT = 9.6 см, KT = 12.8 см, отношение площадей = 2.56

3. Стороны AB и BC треугольника ABC

На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки K и E так, что AK = KB, BE = CE, KE = 6 см. Нужно найти сторону AC. Так как AK = KB и BE = CE, то KE – средняя линия треугольника ABC. Следовательно, KE || AC и KE = 1/2 AC. Поэтому AC = 2KE = 2 * 6 = 12 см.

Ответ: AC = 12 см

4. Площади двух подобных треугольников ABC и MNK

Площади двух подобных треугольников ABC и MNK равны 25 и 16. Найдем сторону AC, если сходственная ей сторона MK другого треугольника равна 2.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения сходственных сторон:

\[\frac{S_{ABC}}{S_{MNK}} = \frac{25}{16} = (\frac{AC}{MK})^2\]

Значит:

\[(\frac{AC}{2})^2 = \frac{25}{16}\] \[\frac{AC}{2} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}\] \[AC = 2 \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{2} = 2.5\]

AC = 2.5

Ответ: AC = 2.5

Ты молодец! У тебя всё получится!