1 ВАРИАНТ 1. Отрезки КЕ и М№ пересекаются в точке О, так что отрезок КМ параллелен отрезку NE. Докажите, что треугольники КМО и NEO подобны. Найдите КМ, если ON-6см, МО-12см, NE=18см. 2. В подобных треугольниках АВС и КМТ стороны АВ и КМ являются сходственными. Найдите стороны треугольника КМТ, если АВ=4см, ВС-6см, СА-8см, КМ: АВ=1,6. Найдите отношение площадей треугольников. 3. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки Кси. Е так, что AK-KB, BE-СЕ, КЕ-6см. Найдите сторону АС. 4. Человек ростом 1,7м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна 4 шагам. На какой высоте в метрах расположен фонарь? 5. Площади двух подобных треугольников АВС и MNK равны 25 и 16. Найдите сторону АС, если сходственная ей сторона МК другого треугольника равна 2.

1 ВАРИАНТ

1. Отрезки KE и MN пересекаются в точке O, так что отрезок KM параллелен отрезку NE. Докажем подобие треугольников KMO и NEO. Треугольники KMO и NEO подобны, так как углы при вершине O вертикальные и равны, а углы KMO и NEO равны как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых KM и NE и секущей ME. Найдем KM, если ON = 6 см, MO = 12 см, NE = 18 см.

Рассмотрим подобные треугольники KMO и NEO:

$$\frac{KM}{NE} = \frac{MO}{ON}$$. Отсюда $$\frac{KM}{18} = \frac{12}{6}$$. Следовательно, $$KM = \frac{12 \cdot 18}{6} = 36 \text{ см}$$.

Ответ: 36 см

2. В подобных треугольниках ABC и KMT стороны AB и KM являются сходственными. Найдем стороны треугольника KMT, если AB = 4 см, BC = 6 см, CA = 8 см, KM : AB = 1,6. Найдем отношение площадей треугольников.

Так как треугольники ABC и KMT подобны, имеем:

$$\frac{KM}{AB} = \frac{MT}{BC} = \frac{KT}{AC} = k$$, где k – коэффициент подобия.

Дано $$\frac{KM}{AB} = 1,6$$, следовательно, $$k = 1,6$$.

Найдем стороны треугольника KMT:

$$MT = k \cdot BC = 1,6 \cdot 6 = 9,6 \text{ см}$$.

$$KT = k \cdot AC = 1,6 \cdot 8 = 12,8 \text{ см}$$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{KMT}}{S_{ABC}} = k^2 = (1,6)^2 = 2,56$$.

Ответ: MT = 9,6 см, KT = 12,8 см, отношение площадей = 2,56

3. На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки K и E так, что AK = KB, BE = CE, KE = 6 см. Найдем сторону AC.

Поскольку AK = KB и BE = CE, KE – средняя линия треугольника ABC, параллельная AC и равна половине AC. Следовательно, $$AC = 2 \cdot KE = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см}$$.

Ответ: 12 см

4. Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна 4 шагам. На какой высоте в метрах расположен фонарь?

Пусть h – высота фонаря, тогда:

$$\frac{1,7}{h} = \frac{4}{8 + 4}$$.

Отсюда $$h = \frac{1,7 \cdot 12}{4} = 5,1 \text{ м}$$.

Ответ: 5,1 м

5. Площади двух подобных треугольников ABC и MNK равны 25 и 16. Найдем сторону AC, если сходственная ей сторона MK другого треугольника равна 2.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{MNK}} = \frac{25}{16} = k^2$$.

Отсюда $$k = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$$.

Так как стороны AC и MK сходственные, то $$\frac{AC}{MK} = k$$. Следовательно, $$AC = k \cdot MK = \frac{5}{4} \cdot 2 = 2,5$$.

Ответ: 2,5