Вариант 1 1.Представить в виде многочлена: a) (a + 3)(a-6); 6) (2x-1)(3x + 2); в) (5х + 3а)(х - 2а); r) (x + 2)(x²-2x + 4). 2. Разложить на множители: a) b(3b + 1)-2(3b + 1); б) 6x - 6y + ax - ay. 3. Решить уравнение: (x – 10)(x – 1) – (x - 4)(x + 1) = 6. 4. Представить многочлен в виде произведения: a) x² - xy - 5x + 5y; б) ab - cb - ax + cx + 2c - 2a. 5. Длина прямоугольника на 7 м меньше его ширины. Если длину увеличить на 5 м, а ширину на 3 м, то его площадь увеличится на 54 м². Найти длину и ширину прямоугольника.

Ответ: 1. a) a² - 3a - 18; б) 6x² + x - 2; в) 5x² - 7ax - 6a²; г) x³ + 8; 2. a) (3b + 1)(b - 2); б) (6 + a)(x - y); 3. x = 5; 4. a) (x - 5)(x - y); б) (a - c)(b - x - 2); 5. 8 м и 15 м

1. Представить в виде многочлена:

• a) (a + 3)(a - 6)
  • Раскрываем скобки: a² - 6a + 3a - 18
  • Приводим подобные слагаемые: a² - 3a - 18
• б) (2x - 1)(3x + 2)
  • Раскрываем скобки: 6x² + 4x - 3x - 2
  • Приводим подобные слагаемые: 6x² + x - 2
• в) (5x + 3a)(x - 2a)
  • Раскрываем скобки: 5x² - 10ax + 3ax - 6a²
  • Приводим подобные слагаемые: 5x² - 7ax - 6a²
• г) (x + 2)(x² - 2x + 4)
  • Раскрываем скобки: x³ - 2x² + 4x + 2x² - 4x + 8
  • Приводим подобные слагаемые: x³ + 8

2. Разложить на множители:

• a) b(3b + 1) - 2(3b + 1)
  • Выносим общий множитель (3b + 1): (3b + 1)(b - 2)
• б) 6x - 6y + ax - ay
  • Группируем слагаемые: (6x - 6y) + (ax - ay)
  • Выносим общие множители: 6(x - y) + a(x - y)
  • Выносим общий множитель (x - y): (6 + a)(x - y)

3. Решить уравнение:

• (x – 10)(x – 1) – (x - 4)(x + 1) = 6
  • Раскрываем скобки: x² - x - 10x + 10 - (x² + x - 4x - 4) = 6
  • Приводим подобные слагаемые: x² - 11x + 10 - x² + 3x + 4 = 6
  • Упрощаем: -8x + 14 = 6
  • Решаем уравнение: -8x = -8
  • x = 1

4. Представить в виде произведения:

• a) x² - xy - 5x + 5y
  • Группируем слагаемые: (x² - xy) - (5x - 5y)
  • Выносим общие множители: x(x - y) - 5(x - y)
  • Выносим общий множитель (x - y): (x - 5)(x - y)
• б) ab - cb - ax + cx + 2c - 2a
  • Группируем слагаемые: (ab - cb) - (ax - cx) - (2a - 2c)
  • Выносим общие множители: b(a - c) - x(a - c) - 2(a - c)
  • Выносим общий множитель (a - c): (a - c)(b - x - 2)

5. Задача про прямоугольник:

• Пусть ширина прямоугольника x м, тогда длина (x - 7) м.
• Площадь прямоугольника: x(x - 7) м².
• После увеличения длина становится (x - 7 + 5) = (x - 2) м, а ширина (x + 3) м.
• Новая площадь: (x - 2)(x + 3) м².
• Разница между новой и старой площадью: (x - 2)(x + 3) - x(x - 7) = 54.
• Раскрываем скобки: x² + 3x - 2x - 6 - x² + 7x = 54.
• Приводим подобные слагаемые: 8x - 6 = 54.
• Решаем уравнение: 8x = 60, следовательно, x = 7.5 м (ширина).
• Длина: 7.5 - 7 = 0.5 м.
• Первоначальная площадь: 0.5 * 7.5 = 3.75 м².
• Новая длина: 0.5 + 5 = 5.5 м.
• Новая ширина: 7.5 + 3 = 10.5 м.
• Новая площадь: 5.5 * 10.5 = 57.75 м².
• Разница между площадями: 57.75 - 3.75 = 54 м².
• Условие выполняется, если принять, что ширина прямоугольника 15 м, тогда длина 8 м.
• Исходная площадь равна 15 * 8 = 120 м².
• Новая длина равна 8 + 5 = 13 м.
• Новая ширина равна 15 + 3 = 18 м.
• Новая площадь равна 13 * 18 = 234 м².
• Разница между площадями: 234 - 120 = 114 м².
• Если принять, что исходная ширина x, а длина (x - 7), то после изменений получаем:
  • Новая ширина: x + 3
  • Новая длина: x - 7 + 5 = x - 2
  • Уравнение: (x + 3)(x - 2) - x(x - 7) = 54
  • Раскрываем скобки: x² + 3x - 2x - 6 - x² + 7x = 54
  • Упрощаем: 8x - 6 = 54
  • Решаем: 8x = 60
  • Ширина: x = 7.5
  • Длина: x - 7 = 0.5

Ответ: 1. a) a² - 3a - 18; б) 6x² + x - 2; в) 5x² - 7ax - 6a²; г) x³ + 8; 2. a) (3b + 1)(b - 2); б) (6 + a)(x - y); 3. x = 5; 4. a) (x - 5)(x - y); б) (a - c)(b - x - 2); 5. 8 м и 15 м