Вариант 4 1. Представьте в виде многочлена выражение: 1) (p + 8)2; 3) (x-9) (x + 9); 2) (10x-3y)²; 4) (4m+7n) (7n - 4m). 2. Разложите на множители: 1) 16-c²; 3) 9m²-25; 2) p² + 2p + 1; 4) 36m² + 24mn + 4n². 3. Упростите выражение (а 10)² - (a-5) (a + 5). 4. Решите уравнение: (2x-7)(x+1)+3(4x-1)(4x+1) = 2(5x-2)253. 5. Представьте в виде произведения выражение: (3a+1)2(a + 6)2. 6. Упростите выражение (2х) (2+x) (4+x²) + (6х2)2 и найдите сго значение при х=- 2 7. Докажите, что выражение х²- 18х + 84 принимает положительные значения при всех значениях х.

Решение:

1. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $$(p + 8)^2$$

Используем формулу квадрата суммы: $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

Тогда $$(p + 8)^2 = p^2 + 2 \cdot p \cdot 8 + 8^2 = p^2 + 16p + 64$$

Ответ: $$p^2 + 16p + 64$$

2) $$(10x-3y)^2$$

Используем формулу квадрата разности: $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

Тогда $$(10x-3y)^2 = (10x)^2 - 2 \cdot 10x \cdot 3y + (3y)^2 = 100x^2 - 60xy + 9y^2$$

Ответ: $$100x^2 - 60xy + 9y^2$$

3) $$(x-9)(x+9)$$

Используем формулу разности квадратов: $$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$$

Тогда $$(x-9)(x+9) = x^2 - 9^2 = x^2 - 81$$

Ответ: $$x^2 - 81$$

4) $$(4m+7n)(7n - 4m)$$
Используем формулу разности квадратов: $$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$

Тогда $$(4m+7n)(7n - 4m) = (7n + 4m)(7n - 4m) = (7n)^2 - (4m)^2 = 49n^2 - 16m^2$$

Ответ: $$49n^2 - 16m^2$$

2. Разложите на множители:

1) $$16 - c^2$$

Используем формулу разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

Тогда $$16 - c^2 = 4^2 - c^2 = (4 - c)(4 + c)$$
Ответ: $$(4 - c)(4 + c)$$

2) $$p^2 + 2p + 1$$

Используем формулу квадрата суммы: $$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$

Тогда $$p^2 + 2p + 1 = p^2 + 2 \cdot p \cdot 1 + 1^2 = (p + 1)^2$$

Ответ: $$(p + 1)^2$$

3) $$9m^2 - 25$$

Используем формулу разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

Тогда $$9m^2 - 25 = (3m)^2 - 5^2 = (3m - 5)(3m + 5)$$

Ответ: $$(3m - 5)(3m + 5)$$

4) $$36m^2 + 24mn + 4n^2$$

Используем формулу квадрата суммы: $$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$

Тогда $$36m^2 + 24mn + 4n^2 = (6m)^2 + 2 \cdot 6m \cdot 2n + (2n)^2 = (6m + 2n)^2$$

Ответ: $$(6m + 2n)^2$$

3. Упростите выражение $$(a - 10)^2 - (a - 5)(a + 5)$$.

Сначала раскроем скобки $$(a - 10)^2$$: $$(a - 10)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 10 + 10^2 = a^2 - 20a + 100$$

Затем раскроем скобки $$(a - 5)(a + 5)$$: $$(a - 5)(a + 5) = a^2 - 5^2 = a^2 - 25$$

Теперь упростим выражение: $$(a - 10)^2 - (a - 5)(a + 5) = a^2 - 20a + 100 - (a^2 - 25) = a^2 - 20a + 100 - a^2 + 25 = -20a + 125$$

Ответ: $$-20a + 125$$

4. Решите уравнение:

$$(2x-7)(x+1)+3(4x-1)(4x+1) = 2(5x-2)^2-53$$

Раскроем скобки в левой части: $$(2x-7)(x+1) = 2x^2 + 2x - 7x - 7 = 2x^2 - 5x - 7$$

$$3(4x-1)(4x+1) = 3(16x^2 - 1) = 48x^2 - 3$$

Раскроем скобки в правой части: $$2(5x-2)^2 = 2(25x^2 - 20x + 4) = 50x^2 - 40x + 8$$

Подставим все в уравнение:

$$2x^2 - 5x - 7 + 48x^2 - 3 = 50x^2 - 40x + 8 - 53$$

$$50x^2 - 5x - 10 = 50x^2 - 40x - 45$$

Перенесем все в левую часть:

$$50x^2 - 5x - 10 - 50x^2 + 40x + 45 = 0$$

$$35x + 35 = 0$$

$$35x = -35$$

$$x = -1$$

Ответ: $$-1$$

5. Представьте в виде произведения выражение: $$(3a+1)^2-(a + 6)^2$$

Используем формулу разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

Тогда $$(3a+1)^2-(a + 6)^2 = ((3a+1) - (a + 6))((3a+1) + (a + 6)) = (3a+1 - a - 6)(3a+1 + a + 6) = (2a - 5)(4a + 7)$$

Ответ: $$(2a - 5)(4a + 7)$$

6. Упростите выражение $$(2 - x)(2 + x)(4 + x^2) + (6 - x^2)^2$$ и найдите его значение при $$x = -\frac{1}{2}$$.

Сначала упростим выражение: $$(2 - x)(2 + x)(4 + x^2) + (6 - x^2)^2 = (4 - x^2)(4 + x^2) + (36 - 12x^2 + x^4) = (16 - x^4) + (36 - 12x^2 + x^4) = 16 - x^4 + 36 - 12x^2 + x^4 = 52 - 12x^2$$

Теперь найдем значение при $$x = -\frac{1}{2}$$:

$$52 - 12(-\frac{1}{2})^2 = 52 - 12(\frac{1}{4}) = 52 - 3 = 49$$

Ответ: 49

7. Докажите, что выражение $$x^2 - 18x + 84$$ принимает положительные значения при всех значениях x.

Преобразуем выражение, выделив полный квадрат:

$$x^2 - 18x + 84 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2 - 9^2 + 84 = (x - 9)^2 - 81 + 84 = (x - 9)^2 + 3$$

Т.к. $$(x - 9)^2 \ge 0$$ при любом x, то $$(x - 9)^2 + 3 \ge 3 > 0$$ при любом x.

Следовательно, выражение $$x^2 - 18x + 84$$ принимает положительные значения при всех значениях x.

Ответ: Выражение принимает положительные значения при всех значениях x, ч.т.д.