Вариант 1 1. Прямые а и в параллельны. Найдите 22, если 21-122° 2 2. Отрезки EF и PQ пересекаются в их середине М. Докажите, что РЕ || QF. 3. Отрезок DM - биссектриса треугольника CDE. Через точку М проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DE в точке N. Найдите углы треугольника DMN, если ZCDE=68°.

Разберем каждое задание подробно.

Задание 1

Дано: прямые a и b параллельны, ∠1 = 122°

Найти: ∠2

Решение:

Если прямые a и b параллельны, то ∠1 и ∠2 являются односторонними углами при секущей c. Сумма односторонних углов равна 180°.

∠1 + ∠2 = 180°

∠2 = 180° - ∠1

∠2 = 180° - 122°

∠2 = 58°

Ответ: ∠2 = 58°

Задание 2

Дано: Отрезки EF и PQ пересекаются в их середине M.

Доказать: PE || QF

Доказательство:

1) Так как M - середина EF и PQ, то EM = MF и PM = MQ.

2) Рассмотрим треугольники ΔPMF и ΔQME. В этих треугольниках:

EM = MF (по условию)

PM = MQ (по условию)

∠PMF = ∠QME (как вертикальные углы)

3) Следовательно, ΔPMF = ΔQME по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть ∠EPQ = ∠PFQ.

5) ∠EPQ и ∠PFQ - накрест лежащие углы при прямых PE и QF и секущей EF. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

6) Следовательно, PE || QF, что и требовалось доказать.

Задание 3

Дано: DM - биссектриса треугольника CDE, CD || MN, ∠CDE = 68°.

Найти: углы треугольника DMN.

Решение:

1) Так как DM - биссектриса угла CDE, то ∠CDM = ∠MDE = ∠CDE / 2 = 68° / 2 = 34°.

2) Так как CD || MN, то ∠DMN = ∠CDM как накрест лежащие углы. Следовательно, ∠DMN = 34°.

3) Так как CD || MN, то ∠CDN и ∠DNM - односторонние углы, и их сумма равна 180°. Угол ∠CDN = ∠CDE = 68°, так как MN пересекает сторону DE в точке N.

4) Угол ∠DNM = 180° - ∠CDN = 180° - 68° = 112°.

5) Рассмотрим треугольник DMN. Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, ∠MDN = 180° - (∠DMN + ∠DNM) = 180° - (34° + 112°) = 180° - 146° = 34°.

6) Итак, углы треугольника DMN равны: ∠DMN = 34°, ∠DNM = 112°, ∠MDN = 34°.

Ответ: ∠DMN = 34°, ∠DNM = 112°, ∠MDN = 34°