Вариант 1 Разность квадратов двух выражений 1. Разложите на множители: 1) 36m² 25m²; 2) x²y²-4/9; 3) 0,81y¹⁰-400z¹²; 4) -1 + 49a⁴b⁶; 5) 1 7/9m²n²-11/25a⁶b²; 6) 2⁶ᵏ - 9, где k — натуральное число. 2. Представьте выражение в виде произведения многочлнов: 1) (3b - 5)² - 49; 2) a⁴ - (a - 7)². 3. Решите уравнение (2x + 3)² - (x - 5)² = 0. 4. Докажите, что при любом натуральном и значение выра- жения (9n + 2)² - (5г - 2)² делится нацело на 56.

1. Разложите на множители:

1) $$36m^2-25n^2$$

Представим каждое слагаемое как квадрат:

$$36m^2=(6m)^2$$

$$25n^2=(5n)^2$$

Разность квадратов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и их разности:

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$.

Тогда:

$$36m^2-25n^2=(6m+5n)(6m-5n)$$.

Ответ: $$(6m+5n)(6m-5n)$$.

2) $$x^2y^2-\frac{4}{9}$$

Представим каждое слагаемое как квадрат:

$$x^2y^2=(xy)^2$$

$$\frac{4}{9}=(\frac{2}{3})^2$$

Используем формулу разности квадратов:

$$x^2y^2-\frac{4}{9}=(xy+\frac{2}{3})(xy-\frac{2}{3})$$.

Ответ: $$(xy+\frac{2}{3})(xy-\frac{2}{3})$$.

3) $$0,81y^{10}-400z^{12}$$

Представим каждое слагаемое как квадрат:

$$0,81y^{10}=(0,9y^5)^2$$

$$400z^{12}=(20z^6)^2$$

Используем формулу разности квадратов:

$$0,81y^{10}-400z^{12}=(0,9y^5+20z^6)(0,9y^5-20z^6)$$.

Ответ: $$(0,9y^5+20z^6)(0,9y^5-20z^6)$$.

4) $$-1+49a^4b^6=49a^4b^6-1$$

Представим каждое слагаемое как квадрат:

$$49a^4b^6=(7a^2b^3)^2$$

$$1=1^2$$

Используем формулу разности квадратов:

$$49a^4b^6-1=(7a^2b^3+1)(7a^2b^3-1)$$.

Ответ: $$(7a^2b^3+1)(7a^2b^3-1)$$.

5) $$1\frac{7}{9}m^2n^2-\frac{11}{25}a^6b^2$$

Представим каждое слагаемое как квадрат:

$$1\frac{7}{9}m^2n^2=\frac{16}{9}m^2n^2=(\frac{4}{3}mn)^2$$

$$\frac{11}{25}a^6b^2=(\frac{\sqrt{11}}{5}a^3b)^2$$

Используем формулу разности квадратов:

$$1\frac{7}{9}m^2n^2-\frac{11}{25}a^6b^2=(\frac{4}{3}mn+\frac{\sqrt{11}}{5}a^3b)(\frac{4}{3}mn-\frac{\sqrt{11}}{5}a^3b)$$.

Ответ: $$(\frac{4}{3}mn+\frac{\sqrt{11}}{5}a^3b)(\frac{4}{3}mn-\frac{\sqrt{11}}{5}a^3b)$$.

6) $$2^{6k}-9$$

Представим каждое слагаемое как квадрат:

$$2^{6k}=(2^{3k})^2$$

$$9=3^2$$

Используем формулу разности квадратов:

$$2^{6k}-9=(2^{3k}+3)(2^{3k}-3)$$.

Ответ: $$(2^{3k}+3)(2^{3k}-3)$$.

2. Представьте выражение в виде произведения многочленов:

1) $$(3b-5)^2-49$$

Используем формулу разности квадратов:

$$(3b-5)^2-49=(3b-5-7)(3b-5+7)=(3b-12)(3b+2)$$.

Ответ: $$(3b-12)(3b+2)$$.

2) $$a^4-(a-7)^2$$

Представим $$a^4=(a^2)^2$$.

Используем формулу разности квадратов:

$$a^4-(a-7)^2=(a^2+a-7)(a^2-a+7)$$.

Ответ: $$(a^2+a-7)(a^2-a+7)$$.

3. Решите уравнение $$(2x+3)^2-(x-5)^2=0$$.

Используем формулу разности квадратов:

$$((2x+3)+(x-5))((2x+3)-(x-5))=0$$

$$(2x+3+x-5)(2x+3-x+5)=0$$

$$(3x-2)(x+8)=0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$3x-2=0$$ или $$x+8=0$$

$$3x=2$$ или $$x=-8$$

$$x=\frac{2}{3}$$ или $$x=-8$$

Ответ: $$x=\frac{2}{3}; x=-8$$.

4. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения $$(9n+2)^2-(5n-2)^2$$ делится нацело на 56.

Упростим выражение:

$$(9n+2)^2-(5n-2)^2=((9n+2)+(5n-2))((9n+2)-(5n-2))=(9n+2+5n-2)(9n+2-5n+2)=14n(4n+4)=14n \cdot 4(n+1)=56n(n+1)$$.

При любом натуральном n выражение $$n(n+1)$$ делится на 2, так как одно из чисел n или n+1 четное. Поэтому выражение $$56n(n+1)$$ делится на $$56 \cdot 2=112$$, а значит, оно делится и на 56.

Ответ: доказано.