Вариант 1 РеброLM тетраэдра LMNP перпендикулярно к плоскости МPN. 1) Докажите, что плоскости LMN и MNP перпендикулярны. 2) Найдите двугранные углы LMPN, NLMP, если треугольник MPN равносторонний. 3) Найдите двугранный угол LNPM, если NP=10,LP=57

Предварительный анализ

• Предмет: Геометрия
• Класс: 10-11

Решение:

1) Докажем, что плоскости LMN и MNP перпендикулярны.

Дано: Ребро LM тетраэдра LMNP перпендикулярно плоскости MPN.

Доказать: плоскости LMN и MNP перпендикулярны.

Доказательство:

Т.к. LM перпендикулярно плоскости MPN, то LM перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, LM перпендикулярно MP.

Рассмотрим плоскость LMN. В этой плоскости LM - прямая, перпендикулярная MP, которая лежит в плоскости MNP. Следовательно, плоскость LMN перпендикулярна плоскости MNP по определению перпендикулярности плоскостей (если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны).

2) Найдите двугранные углы LMPN, NLMP, если треугольник MPN равносторонний.

Т.к. LM перпендикулярно плоскости MPN, то угол LMP = углу LNP = 90 градусов. Т.е. двугранные углы LMPN и NLMP равны 90 градусам.

3) Найдите двугранный угол LNPM, если NP=10,LP=5√7

Пусть O - основание перпендикуляра, опущенного из точки L на плоскость MPN. Тогда O - точка пересечения медиан, высот и биссектрис равностороннего треугольника MPN.

Рассмотрим треугольник LOP - прямоугольный. Тогда tg(LNPM) = LO / OP.

LO = LM. Т.к. LP = 5√7, то LM = √(LP^2 - MP^2) = √((5√7)^2 - 10^2) = √(175 - 100) = √75 = 5√3.

OP = 2/3 * высота треугольника MPN = 2/3 * (MP * √3 / 2) = 2/3 * (10 * √3 / 2) = 10√3 / 3.

tg(LNPM) = LM / OP = (5√3) / (10√3 / 3) = 5√3 * 3 / (10√3) = 3 / 2 = 1.5.

Угол LNPM = arctg(1.5).

Ответ: 1) плоскости LMN и MNP перпендикулярны; 2) двугранные углы LMPN и NLMP равны 90 градусам; 3) двугранный угол LNPM = arctg(1.5).

Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!