1 вариант. 1. Решить биквадратные уравнения: a) 4m² = 32m² - 64 г) а = 2a² - 1 2. Решить дробно-рациональные уравнения: x2 5 б)a)-12-26)2+2=3. x²-9 x²-9 ; 3. Одна из сторон прямоугольника на 5 см меньше другой. Найдите сто- роны прямоугольника, если его площадь равна 84 см².

1 вариант.

1. Решить биквадратные уравнения:

а) Давай решим уравнение \(4m^4 = 32m^2 - 64\). Сначала перенесем все в левую часть: \[4m^4 - 32m^2 + 64 = 0\] Разделим обе части на 4: \[m^4 - 8m^2 + 16 = 0\] Заметим, что это полный квадрат: \[(m^2 - 4)^2 = 0\] Тогда: \[m^2 - 4 = 0\] \[m^2 = 4\] \[m = \pm 2\] г) Теперь решим уравнение \(a^4 = 2a^2 - 1\). Снова перенесем все в левую часть: \[a^4 - 2a^2 + 1 = 0\] Заметим, что это тоже полный квадрат: \[(a^2 - 1)^2 = 0\] Тогда: \[a^2 - 1 = 0\] \[a^2 = 1\] \[a = \pm 1\]

2. Решить дробно-рациональные уравнения:

a) Решим уравнение \(\frac{x^2}{x^2-9} = \frac{12-x}{x^2-9}\). Так как знаменатели одинаковы, можем приравнять числители, но сначала укажем ОДЗ (область допустимых значений): \[x^2 - 9
eq 0\]\[x
eq \pm 3\] Теперь приравняем числители: \[x^2 = 12 - x\] \[x^2 + x - 12 = 0\] Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\] Корни: \[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4\] Учитывая ОДЗ, корень \(x = 3\) не подходит. Таким образом, \(x = -4\). б) Решим уравнение \(\frac{6}{x-2} + \frac{5}{x} = 3\). Сначала приведем к общему знаменателю: \[\frac{6x + 5(x-2)}{x(x-2)} = 3\]\[\frac{6x + 5x - 10}{x^2 - 2x} = 3\]\[\frac{11x - 10}{x^2 - 2x} = 3\] Умножим обе части на \(x^2 - 2x\): \[11x - 10 = 3(x^2 - 2x)\] \[11x - 10 = 3x^2 - 6x\] Перенесем все в правую часть: \[3x^2 - 17x + 10 = 0\] Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169\] Корни: \[x_1 = \frac{17 + \sqrt{169}}{6} = \frac{17 + 13}{6} = \frac{30}{6} = 5\] \[x_2 = \frac{17 - \sqrt{169}}{6} = \frac{17 - 13}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\] ОДЗ: \(x
eq 0, x
eq 2\). Оба корня подходят.

3. Задача про прямоугольник:

Пусть одна сторона прямоугольника равна \(x\) см, тогда другая сторона равна \(x-5\) см. Площадь прямоугольника равна 84 см², поэтому: \[x(x-5) = 84\] \[x^2 - 5x - 84 = 0\] Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361\] Корни: \[x_1 = \frac{5 + \sqrt{361}}{2} = \frac{5 + 19}{2} = \frac{24}{2} = 12\] \[x_2 = \frac{5 - \sqrt{361}}{2} = \frac{5 - 19}{2} = \frac{-14}{2} = -7\] Так как длина стороны не может быть отрицательной, то \(x = 12\) см. Тогда другая сторона равна \(12 - 5 = 7\) см.

Ответ: 1. a) m = \pm 2, г) a = \pm 1; 2. a) x = -4, б) x = 5, x = \frac{2}{3}; 3. 12 см и 7 см.

Прекрасно, ты отлично справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!