Вариант 3 Решить треугольник (найти его неизвестные элементы): A) a=35, β=40°, γ=120° Б) а=14, b=20, у=55° B) a=6, b=7,3, c=4,8.

Решим задачу, используя теоремы синусов и косинусов.

A) Дано: $$a = 35$$, $$\beta = 40^\circ$$, $$\gamma = 120^\circ$$

1. Найдем угол $$\alpha$$: $$\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma = 180^\circ - 40^\circ - 120^\circ = 20^\circ$$
2. Используем теорему синусов для нахождения стороны b: $$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$$ $$\frac{35}{\sin(20^\circ)} = \frac{b}{\sin(40^\circ)}$$ $$b = \frac{35 \cdot \sin(40^\circ)}{\sin(20^\circ)} \approx \frac{35 \cdot 0.6428}{0.3420} \approx 65.77$$
3. Используем теорему синусов для нахождения стороны c: $$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$$ $$\frac{35}{\sin(20^\circ)} = \frac{c}{\sin(120^\circ)}$$ $$c = \frac{35 \cdot \sin(120^\circ)}{\sin(20^\circ)} \approx \frac{35 \cdot 0.8660}{0.3420} \approx 88.66$$

Ответ: $$\alpha = 20^\circ$$, $$b \approx 65.77$$, $$c \approx 88.66$$

Б) Дано: $$a = 14$$, $$b = 20$$, $$\gamma = 55^\circ$$

1. Используем теорему косинусов для нахождения стороны c: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$$ $$c^2 = 14^2 + 20^2 - 2 \cdot 14 \cdot 20 \cdot \cos(55^\circ)$$ $$c^2 = 196 + 400 - 560 \cdot 0.5736 \approx 696 - 321.216 \approx 374.784$$ $$c \approx \sqrt{374.784} \approx 19.36$$
2. Используем теорему синусов для нахождения угла $$\alpha$$: $$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$$ $$\frac{14}{\sin(\alpha)} = \frac{19.36}{\sin(55^\circ)}$$ $$\sin(\alpha) = \frac{14 \cdot \sin(55^\circ)}{19.36} \approx \frac{14 \cdot 0.8192}{19.36} \approx 0.5922$$ $$\alpha \approx \arcsin(0.5922) \approx 36.32^\circ$$
3. Найдем угол $$\beta$$: $$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 36.32^\circ - 55^\circ = 88.68^\circ$$

Ответ: $$c \approx 19.36$$, $$\alpha \approx 36.32^\circ$$, $$\beta \approx 88.68^\circ$$

B) Дано: $$a = 6$$, $$b = 7.3$$, $$c = 4.8$$

1. Используем теорему косинусов для нахождения угла $$\alpha$$: $$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$ $$\cos(\alpha) = \frac{7.3^2 + 4.8^2 - 6^2}{2 \cdot 7.3 \cdot 4.8} = \frac{53.29 + 23.04 - 36}{70.08} = \frac{40.33}{70.08} \approx 0.5755$$ $$\alpha \approx \arccos(0.5755) \approx 54.88^\circ$$
2. Используем теорему косинусов для нахождения угла $$\beta$$: $$\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$ $$\cos(\beta) = \frac{6^2 + 4.8^2 - 7.3^2}{2 \cdot 6 \cdot 4.8} = \frac{36 + 23.04 - 53.29}{57.6} = \frac{5.75}{57.6} \approx 0.0998$$ $$\beta \approx \arccos(0.0998) \approx 84.27^\circ$$
3. Найдем угол $$\gamma$$: $$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 54.88^\circ - 84.27^\circ = 40.85^\circ$$

Ответ: $$\alpha \approx 54.88^\circ$$, $$\beta \approx 84.27^\circ$$, $$\gamma \approx 40.85^\circ$$