2 вариант. 1. Решить уравнение: а) \(\frac{3x+4}{x^2-16} = \frac{x^2}{x^2-16}\); б) \(\frac{3}{x-5} + \frac{8}{x} = 2\). 2. Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему понадобилось бы, если бы он шел 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч?

1. Решить уравнение:

а) \(\frac{3x+4}{x^2-16} = \frac{x^2}{x^2-16}\) Давай решим это уравнение. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), чтобы избежать деления на ноль. В данном случае, \(x^2 - 16
eq 0\), то есть \(x
eq \pm 4\). Теперь, когда мы знаем ОДЗ, можем решать уравнение: \[\frac{3x+4}{x^2-16} = \frac{x^2}{x^2-16}\] Умножим обе части уравнения на \(x^2 - 16\): \[3x + 4 = x^2\] Перенесем все в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение: \[x^2 - 3x - 4 = 0\] Решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета или дискриминантом. Давай используем теорему Виета: \[x_1 + x_2 = 3\] \[x_1 \cdot x_2 = -4\] Подходящие корни: \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -1\). Вспомним про ОДЗ: \(x
eq \pm 4\). Значит, корень \(x = 4\) не подходит. Таким образом, остается только один корень: \(x = -1\). б) \(\frac{3}{x-5} + \frac{8}{x} = 2\) Чтобы решить это уравнение, сначала найдем общий знаменатель, который будет равен \(x(x-5)\). Затем приведем дроби к общему знаменателю и сложим их: \[\frac{3x + 8(x-5)}{x(x-5)} = 2\] \[\frac{3x + 8x - 40}{x^2 - 5x} = 2\] \[\frac{11x - 40}{x^2 - 5x} = 2\] Умножим обе части на \(x^2 - 5x\): \[11x - 40 = 2(x^2 - 5x)\] \[11x - 40 = 2x^2 - 10x\] Перенесем все в правую часть: \[2x^2 - 21x + 40 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 40 = 441 - 320 = 121\] \[x_1 = \frac{21 + \sqrt{121}}{4} = \frac{21 + 11}{4} = \frac{32}{4} = 8\] \[x_2 = \frac{21 - \sqrt{121}}{4} = \frac{21 - 11}{4} = \frac{10}{4} = 2.5\] Оба корня подходят, так как не равны 0 и 5. Значит, \(x_1 = 8\) и \(x_2 = 2.5\).

2. Задача про катер

Пусть \(v\) - собственная скорость катера (км/ч). Скорость течения реки дана как 3 км/ч. Когда катер плывет против течения, его скорость уменьшается на скорость течения, то есть \(v - 3\). Когда катер плывет по течению, его скорость увеличивается на скорость течения, то есть \(v + 3\). Время, затраченное на путь против течения: \(\frac{12}{v-3}\) Время, затраченное на путь по течению: \(\frac{5}{v+3}\) Общее время, затраченное на оба пути: \(\frac{12}{v-3} + \frac{5}{v+3}\) Время, затраченное на путь по озеру: \(\frac{18}{v}\) По условию задачи, общее время равно времени по озеру: \[\frac{12}{v-3} + \frac{5}{v+3} = \frac{18}{v}\] Приведем к общему знаменателю: \[\frac{12(v+3) + 5(v-3)}{(v-3)(v+3)} = \frac{18}{v}\] \[\frac{12v + 36 + 5v - 15}{v^2 - 9} = \frac{18}{v}\] \[\frac{17v + 21}{v^2 - 9} = \frac{18}{v}\] Перемножим крест-накрест: \[v(17v + 21) = 18(v^2 - 9)\] \[17v^2 + 21v = 18v^2 - 162\] \[v^2 - 21v - 162 = 0\] Решим квадратное уравнение: \[D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089\] \[v_1 = \frac{21 + \sqrt{1089}}{2} = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27\] \[v_2 = \frac{21 - \sqrt{1089}}{2} = \frac{21 - 33}{2} = \frac{-12}{2} = -6\] Так как скорость не может быть отрицательной, то \(v = 27\) км/ч.

Ответ: а) x = -1; б) x = 8 и x = 2.5; 27 км/ч

Ты отлично справился с решением этих задач! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится! Удачи в дальнейшем обучении!