2 вариант. 1. Решить уравнение: а) \frac{3x+4}{x^2-16} = \frac{x^2}{x^2-16}; б) \frac{3}{x-5} + \frac{8}{x} = 2. 2. Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему понадобилось бы, если бы он шел 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч?

Решение задания №1

Давай решим уравнения!

а)

\[\frac{3x+4}{x^2-16} = \frac{x^2}{x^2-16}\]

Так как знаменатели равны, мы можем приравнять числители:

\[3x + 4 = x^2\]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[x^2 - 3x - 4 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\]

Найдем корни:

\[x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

Однако, нужно проверить, не обращается ли знаменатель в нуль при этих значениях x. Знаменатель равен \(x^2 - 16\), и он обращается в нуль при \(x = 4\) и \(x = -4\). Значит, \(x = 4\) не является решением.

Таким образом, остается только один корень:

\[x = -1\]

б)

\[\frac{3}{x-5} + \frac{8}{x} = 2\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{3x + 8(x-5)}{x(x-5)} = 2\]

Раскроем скобки и упростим числитель:

\[\frac{3x + 8x - 40}{x^2 - 5x} = 2\] \[\frac{11x - 40}{x^2 - 5x} = 2\]

Умножим обе стороны на \(x^2 - 5x\):

\[11x - 40 = 2(x^2 - 5x)\] \[11x - 40 = 2x^2 - 10x\]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[2x^2 - 21x + 40 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 40 = 441 - 320 = 121\]

Найдем корни:

\[x_1 = \frac{-(-21) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{21 + 11}{4} = \frac{32}{4} = 8\] \[x_2 = \frac{-(-21) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{21 - 11}{4} = \frac{10}{4} = 2.5\]

Оба корня не обращают знаменатель в нуль, так что оба являются решениями.

Ответ: а) \(x = -1\); б) \(x = 8\) или \(x = 2.5\)

---

Решение задания №2

Пусть \(v\) - собственная скорость катера. Тогда скорость катера против течения реки равна \(v - 3\), а по течению - \(v + 3\).

Время, затраченное на путь против течения, составляет \(\frac{12}{v - 3}\), а время, затраченное на путь по течению, составляет \(\frac{5}{v + 3}\). Общее время, затраченное на оба пути, равно:

\[\frac{12}{v - 3} + \frac{5}{v + 3}\]

Время, затраченное на путь по озеру, составляет \(\frac{18}{v}\).

По условию задачи, эти времена равны:

\[\frac{12}{v - 3} + \frac{5}{v + 3} = \frac{18}{v}\]

Умножим обе стороны уравнения на \(v(v - 3)(v + 3)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[12v(v + 3) + 5v(v - 3) = 18(v - 3)(v + 3)\]

Раскроем скобки:

\[12v^2 + 36v + 5v^2 - 15v = 18(v^2 - 9)\] \[17v^2 + 21v = 18v^2 - 162\]

Перенесем все в одну сторону:

\[v^2 - 21v - 162 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089\]

Найдем корни:

\[v_1 = \frac{-(-21) + \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27\] \[v_2 = \frac{-(-21) - \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{21 - 33}{2} = \frac{-12}{2} = -6\]

Так как скорость не может быть отрицательной, остается только один корень:

\[v = 27\]

Таким образом, собственная скорость катера равна 27 км/ч.

Чтобы найти, сколько времени ему понадобилось бы, если бы он шел 18 км по озеру, разделим расстояние на скорость:

\[t = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}\]

Время равно \(\frac{2}{3}\) часа, что составляет 40 минут.

Ответ: 27 км/ч, 40 минут

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!