2 вариант. 1. Решить уравнение: а) 3x +4 x²-16 x2 x²-16 3 x-5 8 x ; б) + = 2. 2. Расстояние 700 км экспресс проходит на 4 часа быстрее товарного поезда, так как его скорость больше скорости товарного поезда на 20 км/ч. Определите скорость каждого из поездов, если известно, что они движутся с постоянной скоростью без остановок.

1. Решить уравнение:

а) \[\frac{3x + 4}{x^2 - 16} = \frac{x^2}{x^2 - 16}\] Логика такая: 1) Область определения: \[x^2 - 16 ≠ 0 \Rightarrow x ≠ ±4\] 2) Умножаем обе части уравнения на \(x^2 - 16\): \[3x + 4 = x^2\] 3) Переносим все в одну сторону и получаем квадратное уравнение: \[x^2 - 3x - 4 = 0\] 4) Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\] \[x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1\] 5) Проверяем корни на соответствие области определения. Корень \(x = 4\) не подходит, так как он исключен из области определения. Следовательно, остается только корень \(x = -1\). Ответ: \(x = -1\) б) \[\frac{3}{x - 5} + \frac{8}{x} = 2\] 1) Область определения: \[x ≠ 5, x ≠ 0\] 2) Умножаем обе части уравнения на \(x(x - 5)\): \[3x + 8(x - 5) = 2x(x - 5)\] 3) Раскрываем скобки и упрощаем: \[3x + 8x - 40 = 2x^2 - 10x\] 4) Переносим все в одну сторону и получаем квадратное уравнение: \[2x^2 - 21x + 40 = 0\] 5) Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 40 = 441 - 320 = 121\] \[x_1 = \frac{-(-21) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{21 + 11}{4} = 8\] \[x_2 = \frac{-(-21) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{21 - 11}{4} = 2.5\] 6) Оба корня соответствуют области определения. Ответ: \(x_1 = 8, x_2 = 2.5\)

2. Задача про поезда:

Пусть \(v\) - скорость товарного поезда (км/ч), тогда \(v + 20\) - скорость экспресса (км/ч). Время, которое товарный поезд тратит на путь, составляет \(\frac{700}{v}\) часов, а время, которое экспресс тратит на тот же путь, составляет \(\frac{700}{v + 20}\) часов. Известно, что экспресс проходит этот путь на 4 часа быстрее, чем товарный поезд. Получаем уравнение: \[\frac{700}{v} - \frac{700}{v + 20} = 4\] 1) Умножаем обе части уравнения на \(v(v + 20)\): \[700(v + 20) - 700v = 4v(v + 20)\] 2) Раскрываем скобки и упрощаем: \[700v + 14000 - 700v = 4v^2 + 80v\] 3) Переносим все в одну сторону и получаем квадратное уравнение: \[4v^2 + 80v - 14000 = 0\] 4) Делим уравнение на 4 для упрощения: \[v^2 + 20v - 3500 = 0\] 5) Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3500) = 400 + 14000 = 14400\] \[v_1 = \frac{-20 + \sqrt{14400}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 + 120}{2} = 50\] \[v_2 = \frac{-20 - \sqrt{14400}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 - 120}{2} = -70\] 6) Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение \(v = 50\) км/ч. Тогда скорость экспресса составляет \(50 + 20 = 70\) км/ч. Ответ: Скорость товарного поезда 50 км/ч, скорость экспресса 70 км/ч.