Вариант 1. Решить уравнение: 1. sin3x.cosx = sinxcos3x. 2. (2sinx + 1). (2 + sinx) = 0. 3. 1-4sinxcosx = 0.

1. sin3x \(\cdot\) cosx = sinx \(\cdot\) cos3x

Шаг 1: Преобразуем уравнение, используя формулу синуса разности: \[ sin3x \(\cdot\) cosx - sinx \(\cdot\) cos3x = 0 \] \[ sin(3x - x) = 0 \] \[ sin(2x) = 0 \] Шаг 2: Решаем полученное уравнение: \[ 2x = \(\pi\)n, n \(\in\) Z \] \[ x = \frac{\pi}{2}n, n \(\in\) Z \]

Ответ: \[ x = \frac{\pi}{2}n, n \(\in\) Z \]

2. (2sinx + 1) \(\cdot\) (2 + sinx) = 0

Шаг 1: Приравниваем каждый множитель к нулю: \[ 2sinx + 1 = 0 \quad или \quad 2 + sinx = 0 \] Шаг 2: Решаем первое уравнение: \[ sinx = -\frac{1}{2} \] \[ x = (-1)^k \cdot arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k, k \in Z \] \[ x = (-1)^{k+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z \] Шаг 3: Решаем второе уравнение: \[ sinx = -2 \] Это уравнение не имеет решений, так как \(\-1 \le sinx \le 1\).

Ответ: \[ x = (-1)^{k+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z \]

3. 1 - 4sinxcosx = 0

Шаг 1: Преобразуем уравнение, используя формулу синуса двойного угла: \[ 1 - 2 \cdot (2sinxcosx) = 0 \] \[ 1 - 2sin(2x) = 0 \] Шаг 2: Решаем полученное уравнение: \[ sin(2x) = \frac{1}{2} \] \[ 2x = (-1)^n \cdot arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in Z \] \[ 2x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z \] \[ x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} n, n \in Z \]

Ответ: \[ x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} n, n \in Z \]