Вариант 9 Решить уравнения 1. (1/2)^x = 1/64 2. 2 ⋅ 3^(x+3) - 5 ⋅ 3^(x-2) = 1443 3. 4^(x+1) + 19 ⋅ 2^x = 5 4. (1/2)^x = x^2 5. 3^(6-x) = 3^(3x+2)

1. \(\left(\frac{1}{2}\right)^x = \frac{1}{64}\)

• Представим \(\frac{1}{64}\) как степень числа \(\frac{1}{2}\): \(\frac{1}{64} = \left(\frac{1}{2}\right)^6\)
• Получаем уравнение: \(\left(\frac{1}{2}\right)^x = \left(\frac{1}{2}\right)^6\)
• Так как основания равны, то и показатели должны быть равны: \(x = 6\)

Ответ: 6

2. \(2 \cdot 3^{x+3} - 5 \cdot 3^{x-2} = 1443\)

• Разложим степени: \(2 \cdot 3^x \cdot 3^3 - 5 \cdot 3^x \cdot 3^{-2} = 1443\)
• Упростим: \(2 \cdot 3^x \cdot 27 - 5 \cdot 3^x \cdot \frac{1}{9} = 1443\)
• Вынесем \(3^x\) за скобки: \(3^x \left(54 - \frac{5}{9}\right) = 1443\)
• Приведем к общему знаменателю: \(3^x \cdot \frac{486 - 5}{9} = 1443\)
• Упростим: \(3^x \cdot \frac{481}{9} = 1443\)
• Найдем \(3^x\): \(3^x = \frac{1443 \cdot 9}{481}\)
• Упростим: \(3^x = 27\)
• Представим 27 как степень числа 3: \(3^x = 3^3\)
• Следовательно, \(x = 3\)

Ответ: 3

3. \(4^{x+1} + 19 \cdot 2^x = 5\)

• Преобразуем \(4^{x+1}\): \(4^{x+1} = 4^x \cdot 4 = (2^2)^x \cdot 4 = (2^x)^2 \cdot 4\)
• Пусть \(y = 2^x\), тогда уравнение примет вид: \(4y^2 + 19y = 5\)
• Перенесем все в одну сторону: \(4y^2 + 19y - 5 = 0\)
• Решим квадратное уравнение:

• Вернемся к замене:
• \(2^x = \frac{1}{4}\) или \(2^x = -5\)
• Первое уравнение: \(2^x = 2^{-2}\), следовательно, \(x = -2\)
• Второе уравнение не имеет решений, так как \(2^x\) всегда положительно.

Ответ: -2

4. \(\left(\frac{1}{2}\right)^x = x^2\)

• Это уравнение не решается аналитически в элементарных функциях. Можно найти приближенное решение графически или численными методами.
• Очевидное решение: \(x=0\) или \(x=1\) не подходят.
• При x=0.766664696 значение левой и правой частей будут равны.

Ответ: 0.766664696

5. \(3^{6-x} = 3^{3x+2}\)

• Так как основания равны, то и показатели должны быть равны: \(6 - x = 3x + 2\)
• Перенесем все в одну сторону: \(4x = 4\)
• Решим уравнение: \(x = 1\)

Ответ: 1