ВАРИАНТ 4 РЕШИТЬ ЗАДАЧИ 1. Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6 см и 8 см вокруг прямой, которая проходит через середины его меньших сторон. 2. Отрезок, соединяющий конец диаметра нижнего основания цилиндра с центром его верхнего основания, равен 2 см и наклонен к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. 3. Радиус основания цилиндра равен 6 см, высота в два раза меньше длины окружности основания. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

1. При вращении прямоугольника со сторонами 6 см и 8 см вокруг прямой, проходящей через середины его меньших сторон, получается цилиндр с высотой 8 см и радиусом 3 см (половина меньшей стороны). Объем цилиндра вычисляется по формуле: $$V = \pi r^2 h$$, где r - радиус основания, h - высота цилиндра. В данном случае, $$r = 3 \text{ см}$$, $$h = 8 \text{ см}$$. $$V = \pi (3 \text{ см})^2 (8 \text{ см}) = \pi (9 \text{ см}^2) (8 \text{ см}) = 72\pi \text{ см}^3$$ 2. Отрезок, соединяющий конец диаметра нижнего основания цилиндра с центром его верхнего основания, образует прямоугольный треугольник с катетами, равными высоте цилиндра (h) и диаметру основания (2r), и гипотенузой, равной 2 см. Угол между гипотенузой и плоскостью основания равен 30°. Тогда $$h = 2 \sin(30^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \text{ см}$$. $$2r = 2 \cos(30^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ см}$$. $$r = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$$. Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $$S = 2\pi r (r + h)$$. $$S = 2\pi \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1) = \pi \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3} + 2}{2}) = \frac{\pi (3 + 2\sqrt{3})}{2} \text{ см}^2$$ 3. Радиус основания цилиндра равен 6 см, высота в два раза меньше длины окружности основания. Длина окружности основания: $$C = 2\pi r = 2\pi (6 \text{ см}) = 12\pi \text{ см}$$. Высота цилиндра: $$h = \frac{1}{2} C = \frac{1}{2} (12\pi \text{ см}) = 6\pi \text{ см}$$. Площадь полной поверхности цилиндра: $$S = 2\pi r (r + h) = 2\pi (6 \text{ см}) (6 \text{ см} + 6\pi \text{ см}) = 12\pi (6 + 6\pi) \text{ см}^2 = 72\pi (1 + \pi) \text{ см}^2$$ Ответ: 1. $$72\pi \text{ см}^3$$ 2. $$\frac{\pi (3 + 2\sqrt{3})}{2} \text{ см}^2$$ 3. $$72\pi (1 + \pi) \text{ см}^2$$