1 вариант №1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой: а) 3x-4<5; 6) 2(1-x) ≥ 5x-(3x+2) №2. Решите систему неравенств: x²+x-12≤0, 8+2x≤0 №3. Решите неравенство методом интервалов: a) (x+3)(x-1)(x-10)<0 №4. Решите неравенство 2x²-7x-4≤0; №5. Найти Область определения: 5х2 + 2x.

№1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

a) $$3x - 4 < 5$$

Решим неравенство:

$$3x < 5 + 4$$

$$3x < 9$$

$$x < 3$$

Изобразим множество решений на координатной прямой:

<----------------(-------------------
               3

б) $$2(1 - x) \ge 5x - (3x + 2)$$ Решим неравенство: $$2 - 2x \ge 5x - 3x - 2$$ $$2 - 2x \ge 2x - 2$$ $$-2x - 2x \ge -2 - 2$$ $$-4x \ge -4$$ $$x \le 1$$

Изобразим множество решений на координатной прямой:

-------------------]------------------>
                   1

Ответ: а) $$x < 3$$, б) $$x \le 1$$

№2. Решите систему неравенств: $$\begin{cases}x^2 + x - 12 \le 0 \\ 8 + 2x \le 0\end{cases}$$

Решим первое неравенство: $$x^2 + x - 12 \le 0$$ Найдем корни квадратного уравнения: $$x^2 + x - 12 = 0$$ $$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$ $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Решением неравенства является отрезок $$[-4; 3]$$

Решим второе неравенство: $$8 + 2x \le 0$$ $$2x \le -8$$ $$x \le -4$$

Решением неравенства является промежуток $$(-\infty; -4]$$

Найдем пересечение решений: $$[-4; 3] \cap (-\infty; -4] = \{-4\}$$

Ответ: $$x = -4$$

№3. Решите неравенство методом интервалов:

а) $$(x+3)(x-1)(x-10)<0$$

Найдем нули функции: $$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$$ $$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$$ $$x - 10 = 0 \Rightarrow x = 10$$

Отметим нули на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

+         -          +           -
<-------(-3)-------(1)--------(10)------->

Выбираем интервалы, где функция отрицательна:

Ответ: $$x \in (-\infty; -3) \cup (1; 10)$$.

№4. Решите неравенство $$2x^2 - 7x - 4 \le 0$$;

Найдем корни квадратного уравнения $$2x^2 - 7x - 4 = 0$$

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$$ $$x_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{4} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$$ $$x_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{4} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$$

Решением неравенства является отрезок $$[-0.5; 4]$$

Ответ: $$x \in [-0.5; 4]$$

№5. Найти Область определения: $$\sqrt{5x^2 + 2x}$$.

Область определения находится из условия: $$5x^2 + 2x \ge 0$$ $$x(5x + 2) \ge 0$$

Найдем нули функции: $$x = 0$$ $$5x + 2 = 0 \Rightarrow 5x = -2 \Rightarrow x = -0.4$$

Отметим нули на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

+          -             +
<-------(-0.4)--------(0)------->

Выбираем интервалы, где функция неотрицательна:

Ответ: $$x \in (-\infty; -0.4] \cup [0; +\infty)$$.