Вариант-4 1. Решите неравенство: a)15-2x>8x+6; 6) x²-14x>(x-7)²; в) 6-4(-7+6x)> -4. 2. Решить систему неравенств: a) (12x-9 < 7x + 11 11x-13 > 7x-4 6) (2x + 11 > 5x-4 5x+6 < x-8 3. Решите неравенство: a) x²+9x+8< 0; 6) x²+4x+7> 0; в) х²-14x+49> 0; г) х²-6x>0. 4. Вычислить: (5/33 - 8/15) : 10/9 5.*Найдите все значения т, при каждом из которых неравенство верно при любых значениях х: 4x²-2x+m>0

1. Решите неравенство:

a) $$15-2x>8x+6$$

Перенесем слагаемые с $$x$$ вправо, а числа влево:

$$15-6 > 8x+2x$$

$$9 > 10x$$

$$x < \frac{9}{10}$$

$$x < 0.9$$

Ответ: $$x < 0.9$$

б) $$x^2-14x>(x-7)^2$$

$$x^2-14x>x^2-14x+49$$

$$x^2-14x-x^2+14x>49$$

$$0>49$$

Неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений

в) $$6-4(-7+6x)> -4$$

$$6+28-24x > -4$$

$$34-24x > -4$$

$$-24x > -4 -34$$

$$-24x > -38$$

$$24x < 38$$

$$x < \frac{38}{24}$$

$$x < \frac{19}{12}$$

Ответ: $$x < \frac{19}{12}$$

2. Решить систему неравенств:

a)

$$\begin{cases} 12x-9 < 7x + 11 \\ 11x-13 > 7x-4 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 12x-7x < 11 + 9 \\ 11x-7x > -4+13 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 5x < 20 \\ 4x > 9 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x < 4 \\ x > \frac{9}{4} \end{cases}$$

$$x \in (\frac{9}{4};4)$$

Ответ: $$x \in (\frac{9}{4};4)$$

б)

$$\begin{cases} 2x + 11 > 5x-4 \\ 5x+6 < x-8 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x - 5x > -4 -11 \\ 5x - x < -8 - 6 \end{cases}$$

$$\begin{cases} -3x > -15 \\ 4x < -14 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 3x < 15 \\ x < -\frac{14}{4} \end{cases}$$

$$\begin{cases} x < 5 \\ x < -\frac{7}{2} \end{cases}$$

$$x < -\frac{7}{2}$$

Ответ: $$x < -\frac{7}{2}$$

3. Решите неравенство:

a) $$x^2+9x+8< 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$x^2+9x+8=0$$

$$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81-32 = 49$$

$$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-9+7}{2} = -1$$

$$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-9-7}{2} = -8$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то ветви параболы направлены вверх. Неравенство выполняется между корнями.

$$x \in (-8; -1)$$

Ответ: $$x \in (-8; -1)$$

б) $$x^2+4x+7> 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$x^2+4x+7=0$$

$$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16-28 = -12$$

Дискриминант отрицательный, значит, корней нет. Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то ветви параболы направлены вверх. Неравенство выполняется для всех $$x$$

Ответ: $$x \in (-\infty;+\infty)$$

в) $$x^2-14x+49> 0$$

$$x^2-14x+49 = (x-7)^2$$

$$(x-7)^2 > 0$$

Данное неравенство выполняется для всех $$x$$, кроме $$x=7$$, где выражение равно 0.

Ответ: $$x \in (-\infty;7) \cup (7;+\infty)$$

г) $$x^2-6x>0$$

$$x(x-6)>0$$

$$x_1 = 0$$

$$x_2 = 6$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то ветви параболы направлены вверх. Неравенство выполняется вне корней.

$$x \in (-\infty;0) \cup (6;+\infty)$$

Ответ: $$x \in (-\infty;0) \cup (6;+\infty)$$

4. Вычислить:

$$(\frac{5}{33} - \frac{8}{15}) : \frac{10}{9}$$

$$\frac{5}{33} - \frac{8}{15} = \frac{5 \cdot 5 - 8 \cdot 11}{165} = \frac{25 - 88}{165} = \frac{-63}{165} = -\frac{21}{55}$$

$$- \frac{21}{55} : \frac{10}{9} = - \frac{21}{55} \cdot \frac{9}{10} = - \frac{21 \cdot 9}{55 \cdot 10} = - \frac{189}{550}$$

Ответ: $$- \frac{189}{550}$$

5. *Найдите все значения m, при каждом из которых неравенство верно при любых значениях х:

$$4x^2-2x+m>0$$

Для того, чтобы квадратное неравенство было верно при любых значениях $$x$$, необходимо, чтобы дискриминант был отрицательным.

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot m = 4 - 16m$$

$$4 - 16m < 0$$

$$-16m < -4$$

$$16m > 4$$

$$m > \frac{4}{16}$$

$$m > \frac{1}{4}$$

Ответ: $$m > \frac{1}{4}$$