Вариант 7 Решите систему уравнений 2 1. (x² + 2y = 6 y=x-1 x²- y² = 27 x - 2y = 0 {(x-2)(y - 1) = 30 3. 2x - y = 10 2 x + y² = 100 4. (3x+2y-2=0

Задание 1:

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 + 2y = 6 \\ y = x - 1 \end{cases}\]

Подставим второе уравнение в первое:

\[x^2 + 2(x - 1) = 6\]

\[x^2 + 2x - 2 = 6\]

\[x^2 + 2x - 8 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если \[x = 2\], то \[y = x - 1 = 2 - 1 = 1\]

Если \[x = -4\], то \[y = x - 1 = -4 - 1 = -5\]

Таким образом, решения системы:

\[(2, 1), (-4, -5)\]

Ответ: (2, 1), (-4, -5)

Задание 2:

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 - y^2 = 27 \\ x - 2y = 0 \end{cases}\]

Выразим x из второго уравнения:

\[x = 2y\]

Подставим в первое уравнение:

\[(2y)^2 - y^2 = 27\]

\[4y^2 - y^2 = 27\]

\[3y^2 = 27\]

\[y^2 = 9\]

\[y = \pm 3\]

Найдем соответствующие значения x:

Если \[y = 3\], то \[x = 2y = 2(3) = 6\]

Если \[y = -3\], то \[x = 2y = 2(-3) = -6\]

Таким образом, решения системы:

\[(6, 3), (-6, -3)\]

Ответ: (6, 3), (-6, -3)

Задание 3:

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} (x - 2)(y - 1) = 30 \\ 2x - y = 10 \end{cases}\]

Выразим y из второго уравнения:

\[y = 2x - 10\]

Подставим в первое уравнение:

\[(x - 2)(2x - 10 - 1) = 30\]

\[(x - 2)(2x - 11) = 30\]

\[2x^2 - 11x - 4x + 22 = 30\]

\[2x^2 - 15x - 8 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4(2)(-8) = 225 + 64 = 289\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + \sqrt{289}}{2(2)} = \frac{15 + 17}{4} = \frac{32}{4} = 8\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - \sqrt{289}}{2(2)} = \frac{15 - 17}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если \[x = 8\], то \[y = 2x - 10 = 2(8) - 10 = 16 - 10 = 6\]

Если \[x = -0.5\], то \[y = 2x - 10 = 2(-0.5) - 10 = -1 - 10 = -11\]

Таким образом, решения системы:

\[(8, 6), (-0.5, -11)\]

Ответ: (8, 6), (-0.5, -11)

Задание 4:

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 100 \\ 3x + 2y - 2 = 0 \end{cases}\]

Выразим y из второго уравнения:

\[2y = 2 - 3x\]

\[y = 1 - \frac{3}{2}x\]

Подставим в первое уравнение:

\[x^2 + (1 - \frac{3}{2}x)^2 = 100\]

\[x^2 + 1 - 3x + \frac{9}{4}x^2 = 100\]

\[\frac{13}{4}x^2 - 3x - 99 = 0\]

\[13x^2 - 12x - 396 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4(13)(-396) = 144 + 20592 = 20736\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{20736}}{2(13)} = \frac{12 + 144}{26} = \frac{156}{26} = 6\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{20736}}{2(13)} = \frac{12 - 144}{26} = \frac{-132}{26} = -\frac{66}{13}\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если \[x = 6\], то \[y = 1 - \frac{3}{2}(6) = 1 - 9 = -8\]

Если \[x = -\frac{66}{13}\], то \[y = 1 - \frac{3}{2}(-\frac{66}{13}) = 1 + \frac{99}{13} = \frac{13 + 99}{13} = \frac{112}{13}\]

Таким образом, решения системы:

\[(6, -8), (-\frac{66}{13}, \frac{112}{13})\]

Ответ: (6, -8), (-66/13, 112/13)