Вариант №2. Решите систему уравнений { 3x + y = 10, { x² - y = 8. 2. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диагональ равна 5 см. Найдите стороны прямоугольника. 3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы у = х2 - 14 и прямой х + у = 6. 4. Изобразите схематически графики уравнений и выясните, сколько решений имеет система уравнений x²+y²=16, x+y=4.

Давай разберем по порядку каждое задание из твоего варианта.

1. Решите систему уравнений:

\[\begin{cases} 3x + y = 10, \\ x^2 - y = 8. \end{cases}\] Выразим y из первого уравнения: \[y = 10 - 3x\] Подставим это выражение во второе уравнение: \[x^2 - (10 - 3x) = 8\] \[x^2 + 3x - 10 - 8 = 0\] \[x^2 + 3x - 18 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 9}{2} = \frac{-12}{2} = -6\] Теперь найдем соответствующие значения y: Если \[x = 3\], то \[y = 10 - 3 \cdot 3 = 10 - 9 = 1\] Если \[x = -6\], то \[y = 10 - 3 \cdot (-6) = 10 + 18 = 28\] Итак, решения системы уравнений: \[(3, 1)\] и \[(-6, 28)\]

Ответ: (3, 1) и (-6, 28)

2. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диагональ равна 5 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b - стороны прямоугольника. Тогда: Периметр: \[2(a + b) = 14\] => \[a + b = 7\] Диагональ: \[a^2 + b^2 = 5^2 = 25\] (по теореме Пифагора) Выразим b через a из первого уравнения: \[b = 7 - a\] Подставим это выражение во второе уравнение: \[a^2 + (7 - a)^2 = 25\] \[a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25\] \[2a^2 - 14a + 49 - 25 = 0\] \[2a^2 - 14a + 24 = 0\] \[a^2 - 7a + 12 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\] \[a_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[a_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\] Если \[a = 4\] см, то \[b = 7 - 4 = 3\] см Если \[a = 3\] см, то \[b = 7 - 3 = 4\] см Стороны прямоугольника: 3 см и 4 см.

Ответ: 3 см и 4 см

3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы \(y = x^2 - 14\) и прямой \(x + y = 6\).

Выразим y из уравнения прямой: \[y = 6 - x\] Подставим это выражение в уравнение параболы: \[6 - x = x^2 - 14\] \[x^2 + x - 14 - 6 = 0\] \[x^2 + x - 20 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81\] \[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5\] Теперь найдем соответствующие значения y: Если \[x = 4\], то \[y = 6 - 4 = 2\] Если \[x = -5\], то \[y = 6 - (-5) = 6 + 5 = 11\] Итак, координаты точек пересечения параболы и прямой: \[(4, 2)\] и \[(-5, 11)\]

Ответ: (4, 2) и (-5, 11)

4. Изобразите схематически графики уравнений и выясните, сколько решений имеет система уравнений:

\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ x + y = 4. \end{cases}\] Первое уравнение представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом \(r = \sqrt{16} = 4\). Второе уравнение представляет собой прямую. Выразим y: \(y = 4 - x\). Прямая пересекает окружность. Чтобы найти количество решений, можно подставить выражение для y из уравнения прямой в уравнение окружности: \[x^2 + (4 - x)^2 = 16\] \[x^2 + 16 - 8x + x^2 = 16\] \[2x^2 - 8x = 0\] \[2x(x - 4) = 0\] Отсюда находим два значения для x: \[x_1 = 0\] и \[x_2 = 4\] Теперь найдем соответствующие значения y: Если \[x = 0\], то \[y = 4 - 0 = 4\] Если \[x = 4\], то \[y = 4 - 4 = 0\] Итак, решения системы уравнений: \[(0, 4)\] и \[(4, 0)\] Система имеет два решения.

Ответ: 2 решения

Отлично! Ты хорошо справился с этими задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!