2 вариант 1. Решите систему уравнений a) 4x - y = 7 x+3y=5 б) 3x+2y=12 5x - 4y = -2 2. Поездка на такси состоит из платы за подачу и платы за каждый километр. За поездку длиной 10 км заплатили 350 рублей, а за поездку длиной 15 км 500 рублей. Найдите плату за подачу и поездку 5 км. 3. Решите неравенство a) 4(3 - x) < 2x + 6 6)-2≤ 4x + 3 ≤ 11 в) 2x + 3> 9 4. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству x-2 x+1 ≤1 3 4 5. Решите систему неравенств x-3≥2x+1 4x-7<3x+2 6. Решите неравенство относительно х ax4≤3x + 2

1. Решите систему уравнений

a)

Логика такая:

• Выразим y из первого уравнения: y = 4x - 7
• Подставим это выражение во второе уравнение: x + 3(4x - 7) = 5
• Решим полученное уравнение относительно x:

Шаг 1: Раскрываем скобки и упрощаем уравнение: \[ x + 12x - 21 = 5 \] \[ 13x = 26 \] \[ x = 2 \] Шаг 2: Найдем значение y, подставив x = 2 в выражение для y: \[ y = 4(2) - 7 = 8 - 7 = 1 \] Ответ: x = 2, y = 1

б)

Логика такая:

• Умножим первое уравнение на 2: 6x + 4y = 24
• Сложим полученное уравнение со вторым уравнением: (6x + 4y) + (5x - 4y) = 24 + (-2)
• Решим полученное уравнение относительно x:

Шаг 1: Упрощаем уравнение: \[ 11x = 22 \] \[ x = 2 \] Шаг 2: Найдем значение y, подставив x = 2 в первое уравнение: \[ 3(2) + 2y = 12 \] \[ 6 + 2y = 12 \] \[ 2y = 6 \] \[ y = 3 \] Ответ: x = 2, y = 3

2. Поездка на такси

Логика такая: Составим систему уравнений на основе данных о стоимости поездок.

• Пусть a - плата за подачу, b - плата за километр.
• Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} a + 10b = 350 \\ a + 15b = 500 \end{cases} \]

Шаг 1: Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить a: \[ (a + 15b) - (a + 10b) = 500 - 350 \] \[ 5b = 150 \] \[ b = 30 \] Шаг 2: Подставим b = 30 в первое уравнение, чтобы найти a: \[ a + 10(30) = 350 \] \[ a + 300 = 350 \] \[ a = 50 \] Шаг 3: Найдем стоимость поездки длиной 5 км: \[ a + 5b = 50 + 5(30) = 50 + 150 = 200 \] Ответ: 200 рублей

3. Решите неравенство

а)

Логика такая: Раскрываем скобки и переносим все члены с x в одну сторону, а числа в другую.

Шаг 1: Раскрываем скобки: \[ 12 - 4x < 2x + 6 \] Шаг 2: Переносим члены с x вправо, а числа влево: \[ 12 - 6 < 2x + 4x \] \[ 6 < 6x \] Шаг 3: Делим обе части на 6: \[ 1 < x \] Ответ: x > 1

б)

Логика такая: Решаем двойное неравенство, разделяя его на два отдельных.

Шаг 1: Разделяем неравенство на два: \[ -2 \le 4x + 3 \] и \[ 4x + 3 \le 11 \] Шаг 2: Решаем первое неравенство: \[ -2 - 3 \le 4x \] \[ -5 \le 4x \] \[ x \ge -\frac{5}{4} = -1.25 \] Шаг 3: Решаем второе неравенство: \[ 4x \le 11 - 3 \] \[ 4x \le 8 \] \[ x \le 2 \] Ответ: -1.25 ≤ x ≤ 2

в)

Логика такая: Рассматриваем два случая: когда выражение в модуле положительное и когда отрицательное.

Случай 1: 2x + 3 > 0 \[ 2x + 3 > 9 \] \[ 2x > 6 \] \[ x > 3 \] Случай 2: 2x + 3 < 0 \[ -(2x + 3) > 9 \] \[ -2x - 3 > 9 \] \[ -2x > 12 \] \[ x < -6 \] Ответ: x < -6 или x > 3

4. Найдите наибольшее целое число

Логика такая: Приведем дроби к общему знаменателю и решим неравенство.

Шаг 1: Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{4(x - 2) - 3(x + 1)}{12} \le 1 \] Шаг 2: Раскроем скобки и упростим: \[ 4x - 8 - 3x - 3 \le 12 \] \[ x - 11 \le 12 \] \[ x \le 23 \] Ответ: 23

5. Решите систему неравенств

Логика такая: Решаем каждое неравенство отдельно и находим пересечение решений.

Шаг 1: Решаем первое неравенство: \[ x - 3 \ge 2x + 1 \] \[ -x \ge 4 \] \[ x \le -4 \] Шаг 2: Решаем второе неравенство: \[ 4x - 7 < 3x + 2 \] \[ x < 9 \] Ответ: x ≤ -4

6. Решите неравенство относительно x

Логика такая: Переносим все члены с x в одну сторону и выражаем x.

Шаг 1: Переносим члены с x в одну сторону: \[ ax - 3x \le 2 + 4 \] \[ (a - 3)x \le 6 \] Случай 1: a > 3, тогда \[ x \le \frac{6}{a - 3} \] Случай 2: a < 3, тогда \[ x \ge \frac{6}{a - 3} \] Случай 3: a = 3, тогда \[ 0 \cdot x \le 6 \] Решением является любое число. Ответ: Если a > 3, то x ≤ 6/(a - 3); если a < 3, то x ≥ 6/(a - 3); если a = 3, то x - любое число