Вариант 8 Решите систему уравнений 1.{x² - 2y = 54 y=x-3 2.{x² + y² = 17 4y + x = 0 3.{(x-2)(y+1) = 24 x - 2y = 6 4.{xy + 42 = 0 x² - 2y - 61 = 0

Решение системы уравнений.

1. Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 - 2y = 54 \\ y = x - 3 \end{cases}\] Подставим выражение для y из второго уравнения в первое: \[x^2 - 2(x - 3) = 54\] Раскроем скобки и приведем подобные члены: \[x^2 - 2x + 6 = 54\] Перенесем все в одну сторону: \[x^2 - 2x - 48 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-2)^2 - 4(1)(-48) = 4 + 192 = 196\] \[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{196}}{2(1)} = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8\] \[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{196}}{2(1)} = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6\] Найдем соответствующие значения y: \[y_1 = x_1 - 3 = 8 - 3 = 5\] \[y_2 = x_2 - 3 = -6 - 3 = -9\] Ответ: (8, 5) и (-6, -9)

2. Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 17 \\ 4y + x = 0 \end{cases}\] Выразим x из второго уравнения: \[x = -4y\] Подставим это выражение в первое уравнение: \[(-4y)^2 + y^2 = 17\] \[16y^2 + y^2 = 17\] \[17y^2 = 17\] \[y^2 = 1\] \[y_1 = 1, y_2 = -1\] Найдем соответствующие значения x: \[x_1 = -4y_1 = -4(1) = -4\] \[x_2 = -4y_2 = -4(-1) = 4\] Ответ: (-4, 1) и (4, -1)

3. Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} (x - 2)(y + 1) = 24 \\ x - 2y = 6 \end{cases}\] Выразим x из второго уравнения: \[x = 2y + 6\] Подставим это выражение в первое уравнение: \[(2y + 6 - 2)(y + 1) = 24\] \[(2y + 4)(y + 1) = 24\] \[2y^2 + 2y + 4y + 4 = 24\] \[2y^2 + 6y - 20 = 0\] \[y^2 + 3y - 10 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = 3^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49\] \[y_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2\] \[y_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5\] Найдем соответствующие значения x: \[x_1 = 2y_1 + 6 = 2(2) + 6 = 4 + 6 = 10\] \[x_2 = 2y_2 + 6 = 2(-5) + 6 = -10 + 6 = -4\] Ответ: (10, 2) и (-4, -5)

4. Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} xy + 42 = 0 \\ x^2 - 2y - 61 = 0 \end{cases}\] Выразим y из первого уравнения: \[y = -\frac{42}{x}\] Подставим это выражение во второе уравнение: \[x^2 - 2(-\frac{42}{x}) - 61 = 0\] \[x^2 + \frac{84}{x} - 61 = 0\] Умножим на x: \[x^3 - 61x + 84 = 0\] Подбором можно найти корень x = 1 (x-1)(x^2+x-84)=0 x=1, x^2+x-84=0. Это не имеет целых корней. Если x = 7: 7*y = -42, то есть y = -6. Тогда 7*7 - 2(-6) - 61 = 49 + 12 - 61 = 0. Подходит Если x = -12, то y = 42/12 = 7/2. (-12)^3-61(-12)+84 = -1728+732+84 = -912+84 =-902. Неверно. То есть, y=-42/x. x^2 + (84/x) - 61=0 x^3 - 61x+84=0 (x-7)(x^2+7x-12) = 0 x=7. x = (-7+ \sqrt(49+48) /2) = \frac(-7+ \sqrt(97) /2\] \[y = -\frac{42}{7} = -6\] \[x^2+7x-12=0\] Дискриминант = 49-4(-12)=97 \[x = \frac{-7 \pm sqrt(97)}{2}\] \[y = \frac{-42}{x}= \frac{-84}{-7 \pm sqrt(97)}\] Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение (-7 \mp sqrt(97)) =\[\frac{-84(-7 \mp sqrt(97))}{(49-97)} = \frac{-84(-7 \mp sqrt(97))}{-48}\]=\[\frac{21(-7 \mp sqrt(97))}{12}=\frac{7(-7 \mp sqrt(97))}{4}\] Ответ: (7, -6) и ((-7 + √97)/2 , 7(-7 - √97)/4) и ((-7 - √97)/2 , 7(-7 + √97)/4)

Ты отлично справился с решением этих систем уравнений! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!