Вариант 1 1.Решите систему уравнений: x+y=1, x²+y²=25. 2. Площадь прямоугольного треугольника равна 15 дм², а сумма его катетов равна 11 дм. Найдите катеты. 3. Решите графически систему уравнений: x+y=7 xy=10.

Вариант 1

1. Решим систему уравнений: \[\begin{cases}x + y = 1 \\ x^2 + y^2 = 25\end{cases}\] Выразим \(y\) через \(x\) из первого уравнения: \(y = 1 - x\). Подставим это выражение во второе уравнение: \[x^2 + (1 - x)^2 = 25\] Раскроем скобки: \[x^2 + 1 - 2x + x^2 = 25\] Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение: \[2x^2 - 2x - 24 = 0\] Разделим обе части уравнения на 2: \[x^2 - x - 12 = 0\] Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\). Тогда корни: \[x_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1 - 7}{2} = -3\] Теперь найдем соответствующие значения \(y\): Если \(x_1 = 4\), то \(y_1 = 1 - 4 = -3\). Если \(x_2 = -3\), то \(y_2 = 1 - (-3) = 4\).

Ответ: (4; -3), (-3; 4).

2. Площадь прямоугольного треугольника равна 15 дм², а сумма его катетов равна 11 дм. Найдите катеты. Пусть \(a\) и \(b\) — катеты прямоугольного треугольника. Тогда у нас есть два уравнения: \[\frac{1}{2}ab = 15\] \[a + b = 11\] Из первого уравнения следует, что \(ab = 30\). Теперь у нас есть система: \[\begin{cases}a + b = 11 \\ ab = 30\end{cases}\] Выразим \(b\) через \(a\) из первого уравнения: \(b = 11 - a\). Подставим это выражение во второе уравнение: \[a(11 - a) = 30\] Раскроем скобки и получим квадратное уравнение: \[11a - a^2 = 30\] \[a^2 - 11a + 30 = 0\] Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1\). Тогда корни: \[a_1 = \frac{11 + \sqrt{1}}{2} = \frac{11 + 1}{2} = 6\] \[a_2 = \frac{11 - \sqrt{1}}{2} = \frac{11 - 1}{2} = 5\] Теперь найдем соответствующие значения \(b\): Если \(a_1 = 6\), то \(b_1 = 11 - 6 = 5\). Если \(a_2 = 5\), то \(b_2 = 11 - 5 = 6\).

Ответ: 6 дм и 5 дм.

3. Решите графически систему уравнений: \[\begin{cases}x + y = 7 \\ xy = 10\end{cases}\] Построим графики этих уравнений. Первое уравнение \(x + y = 7\) — это прямая, а второе уравнение \(xy = 10\) — гипербола. Прямая \(x + y = 7\) пересекает ось \(x\) в точке \((7, 0)\) и ось \(y\) в точке \((0, 7)\). Гипербола \(xy = 10\) имеет ветви в первом и третьем квадрантах. Графически найдем точки пересечения прямой и гиперболы. Это точки \((2, 5)\) и \((5, 2)\).

Ответ: (2; 5), (5; 2).