Вариант 1 Решите системы 1-5: 1. { x + y = -5 xy = 4, 2. { x + y = 6 x² - y² = 12, 3. { x² + y² = 20 xy = 8,

Первым делом внимательно прочитаем задание. Нам необходимо решить системы уравнений. 1. Решим систему уравнений: $$\begin{cases} x + y = -5 \ xy = 4 \end{cases}$$ Выразим $$y$$ через $$x$$ из первого уравнения: $$y = -5 - x$$. Подставим это выражение во второе уравнение: $$x(-5 - x) = 4$$ $$-5x - x^2 = 4$$ $$x^2 + 5x + 4 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$$. Тогда корни: $$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 + 3}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 - 3}{2} = -4$$ Найдем соответствующие значения $$y$$: Если $$x_1 = -1$$, то $$y_1 = -5 - (-1) = -4$$. Если $$x_2 = -4$$, то $$y_2 = -5 - (-4) = -1$$. Ответ: $$(-1, -4)$$, $$(-4, -1)$$. 2. Решим систему уравнений: $$\begin{cases} x + y = 6 \ x^2 - y^2 = 12 \end{cases}$$ Разложим второе уравнение на множители: $$(x + y)(x - y) = 12$$. Подставим $$x + y = 6$$: $$6(x - y) = 12$$ $$x - y = 2$$ Теперь у нас есть система: $$\begin{cases} x + y = 6 \ x - y = 2 \end{cases}$$ Сложим уравнения: $$2x = 8$$ $$x = 4$$ Тогда $$y = 6 - x = 6 - 4 = 2$$. Ответ: $$(4, 2)$$. 3. Решим систему уравнений: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 20 \ xy = 8 \end{cases}$$ Выразим $$y$$ через $$x$$ из второго уравнения: $$y = \frac{8}{x}$$. Подставим это выражение в первое уравнение: $$x^2 + \left(\frac{8}{x}\right)^2 = 20$$ $$x^2 + \frac{64}{x^2} = 20$$ $$x^4 + 64 = 20x^2$$ $$x^4 - 20x^2 + 64 = 0$$ Пусть $$t = x^2$$. Тогда $$t^2 - 20t + 64 = 0$$. Найдем дискриминант: $$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144$$. Тогда корни: $$t_1 = \frac{20 + \sqrt{144}}{2} = \frac{20 + 12}{2} = 16$$ $$t_2 = \frac{20 - \sqrt{144}}{2} = \frac{20 - 12}{2} = 4$$ Найдем значения $$x$$: Если $$t_1 = 16$$, то $$x^2 = 16$$, значит $$x_1 = 4$$ и $$x_2 = -4$$. Если $$t_2 = 4$$, то $$x^2 = 4$$, значит $$x_3 = 2$$ и $$x_4 = -2$$. Найдем соответствующие значения $$y$$: Если $$x_1 = 4$$, то $$y_1 = \frac{8}{4} = 2$$. Если $$x_2 = -4$$, то $$y_2 = \frac{8}{-4} = -2$$. Если $$x_3 = 2$$, то $$y_3 = \frac{8}{2} = 4$$. Если $$x_4 = -2$$, то $$y_4 = \frac{8}{-2} = -4$$. Ответ: $$(4, 2)$$, $$(-4, -2)$$, $$(2, 4)$$, $$(-2, -4)$$.