Вариант 1 1. Решите уравнение: a) lg² xlg x-2= 2 = 0; 6) xlogs x = 625; B) log5 x - 3 logx 5 = 2.

Ответ: a) x = 100, x = 0.01; б) x = 25, x = 1/25; в) x = 25

Решение:

а) lg² x - lg x - 2 = 0

Введём замену переменной: y = lg x

Тогда уравнение примет вид:

y² - y - 2 = 0

Решаем квадратное уравнение:

D = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

y₁ = (1 + √9) / 2 = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2

y₂ = (1 - √9) / 2 = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1

Возвращаемся к замене:

lg x = 2 => x = 10² = 100

lg x = -1 => x = 10⁻¹ = 0.01

Ответ: x = 100, x = 0.01

б) x^{log₅ x} = 625

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 5:

log₅(x^{log₅ x}) = log₅(625)

log₅ x * log₅ x = log₅(5⁴)

(log₅ x)² = 4

log₅ x = ±2

log₅ x = 2 => x = 5² = 25

log₅ x = -2 => x = 5⁻² = 1/25

Ответ: x = 25, x = 1/25

в) log₅ x - 3 logₓ 5 = 2

Заменим logₓ 5 на 1 / log₅ x:

log₅ x - 3 / log₅ x = 2

Введём замену переменной: y = log₅ x

Тогда уравнение примет вид:

y - 3 / y = 2

Умножим обе части уравнения на y (y ≠ 0):

y² - 3 = 2y

y² - 2y - 3 = 0

Решаем квадратное уравнение:

D = (-2)² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

y₁ = (2 + √16) / 2 = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3

y₂ = (2 - √16) / 2 = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1

Возвращаемся к замене:

log₅ x = 3 => x = 5³ = 125

log₅ x = -1 => x = 5⁻¹ = 1/5

Проверим найденные корни, так как была замена переменной:

log₅ 125 - 3 log₁₂₅ 5 = 3 - 3 * (1/3) = 3 - 1 = 2 (верно)

log₅ (1/5) - 3 log₁/₅ 5 = -1 - 3 * (-1) = -1 + 3 = 2 (верно)

Ответ: x = 125, x = 1/5

Ответ: a) x = 100, x = 0.01; б) x = 25, x = 1/25; в) x = 25