2 вариант 1. Решите уравнение: a) x-x2/5-x = -20/5-x b) 2x-1/x+7 = 3x + 4/x-1 c) 3x/x-1 + 4/x+1 = 6/x²-1 d) 2/x² - 3x - 1/x-3 = 5/x³ - 9x e) x+1/x+5 - x-2/x-5 = 1 f) x+3/4x²-9 - 3-x/4x² + 12x + 9 = 2/2x-3 2. Из пункта А в пункт В, расстояние между кото- рыми 34 км, вышел пешеход. Через полчаса нав- стречу ему из В в А выехал велосипедист. Велоси- педист ехал со скоростью, на 8 км/ч большей ско- рости пешехода. Найдите скорость велосипедиста, если известно, что они встретились в 10 км от пункта А.

1. Решите уравнение:

a) \(\frac{x-x^2}{5-x} = \frac{-20}{5-x}\)

Давай решим это уравнение. Сначала умножим обе части уравнения на \(5-x\), чтобы избавиться от знаменателя: \[x - x^2 = -20\] Перенесем все члены в правую часть: \[x^2 - x - 20 = 0\] Теперь решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета или дискриминантом. Найдем дискриминант: \[D = (-1)^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81\] Так как \(D > 0\), уравнение имеет два корня: \[x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4\] Однако, нужно проверить корни на допустимость. Если \(x = 5\), то знаменатель \(5-x = 0\), что недопустимо. Поэтому \(x = 5\) не является решением. \[x = -4\] Подставим \(x = -4\) в исходное уравнение: \[\frac{-4 - (-4)^2}{5 - (-4)} = \frac{-4 - 16}{9} = \frac{-20}{9}\] \[\frac{-20}{5 - (-4)} = \frac{-20}{9}\] Таким образом, \(x = -4\) является решением уравнения.

Ответ: x = -4

Ты молодец! У тебя всё получится!

б) \(\frac{2x-1}{x+7} = \frac{3x + 4}{x-1}\)

Сначала избавимся от знаменателей, умножив обе части уравнения на \((x+7)(x-1)\): \[(2x-1)(x-1) = (3x+4)(x+7)\] Раскроем скобки: \[2x^2 - 2x - x + 1 = 3x^2 + 21x + 4x + 28\] \[2x^2 - 3x + 1 = 3x^2 + 25x + 28\] Перенесем все члены в правую часть: \[0 = x^2 + 28x + 27\] Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[D = 28^2 - 4(1)(27) = 784 - 108 = 676\] Так как \(D > 0\), уравнение имеет два корня: \[x_1 = \frac{-28 + \sqrt{676}}{2(1)} = \frac{-28 + 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1\] \[x_2 = \frac{-28 - \sqrt{676}}{2(1)} = \frac{-28 - 26}{2} = \frac{-54}{2} = -27\] Нужно проверить корни на допустимость. Если \(x = -1\), то в исходном уравнении: \[\frac{2(-1)-1}{(-1)+7} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}\] \[\frac{3(-1) + 4}{(-1)-1} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}\] Если \(x = -27\), то в исходном уравнении: \[\frac{2(-27)-1}{(-27)+7} = \frac{-55}{-20} = \frac{11}{4}\] \[\frac{3(-27) + 4}{(-27)-1} = \frac{-77}{-28} = \frac{11}{4}\] Таким образом, оба корня \(x = -1\) и \(x = -27\) являются решениями уравнения.

Ответ: x = -1, x = -27

Ты молодец! У тебя всё получится!

c) \(\frac{3x}{x-1} + \frac{4}{x+1} = \frac{6}{x^2-1}\)

Приведем все дроби к общему знаменателю \((x-1)(x+1) = x^2 - 1\): \[\frac{3x(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{4(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{6}{x^2-1}\] \[\frac{3x^2 + 3x + 4x - 4}{x^2-1} = \frac{6}{x^2-1}\] Так как знаменатели равны, приравняем числители: \[3x^2 + 7x - 4 = 6\] \[3x^2 + 7x - 10 = 0\] Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[D = 7^2 - 4(3)(-10) = 49 + 120 = 169\] Так как \(D > 0\), уравнение имеет два корня: \[x_1 = \frac{-7 + \sqrt{169}}{2(3)} = \frac{-7 + 13}{6} = \frac{6}{6} = 1\] \[x_2 = \frac{-7 - \sqrt{169}}{2(3)} = \frac{-7 - 13}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}\] Нужно проверить корни на допустимость. Если \(x = 1\), то знаменатель первой дроби \(x-1 = 0\), что недопустимо. Поэтому \(x = 1\) не является решением. Если \(x = -\frac{10}{3}\), то: \[\frac{3(-\frac{10}{3})}{(-\frac{10}{3})-1} + \frac{4}{(-\frac{10}{3})+1} = \frac{-10}{-\frac{13}{3}} + \frac{4}{-\frac{7}{3}} = \frac{30}{13} - \frac{12}{7} = \frac{30\cdot7 - 12\cdot13}{91} = \frac{210 - 156}{91} = \frac{54}{91}\] \[\frac{6}{(-\frac{10}{3})^2-1} = \frac{6}{\frac{100}{9}-1} = \frac{6}{\frac{91}{9}} = \frac{54}{91}\] Таким образом, \(x = -\frac{10}{3}\) является решением уравнения.

Ответ: x = -10/3

Ты молодец! У тебя всё получится!

d) \(\frac{2}{x^2 - 3x} - \frac{1}{x-3} = \frac{5}{x^3 - 9x}\)

Разложим знаменатели на множители: \(x^2 - 3x = x(x-3)\) и \(x^3 - 9x = x(x^2-9) = x(x-3)(x+3)\). Приведем все дроби к общему знаменателю \(x(x-3)(x+3)\): \[\frac{2(x+3)}{x(x-3)(x+3)} - \frac{1(x+3)x}{x(x-3)(x+3)} = \frac{5}{x(x-3)(x+3)}\] Упростим числители: \[\frac{2x+6 - x^2 - 3x}{x(x-3)(x+3)} = \frac{5}{x(x-3)(x+3)}\] Так как знаменатели равны, приравняем числители: \[-x^2 - x + 6 = 5\] \[-x^2 - x + 1 = 0\] \[x^2 + x - 1 = 0\] Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[D = 1^2 - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5\] Так как \(D > 0\), уравнение имеет два корня: \[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2(1)} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\] \[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2(1)} = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\] Необходимо проверить корни на допустимость. Оба корня не обращают знаменатели в нуль, поэтому они являются решениями уравнения.

Ответ: x = (-1 + √5)/2, x = (-1 - √5)/2

Ты молодец! У тебя всё получится!

e) \(\frac{x+1}{x+5} - \frac{x-2}{x-5} = 1\)

Приведем дроби к общему знаменателю \((x+5)(x-5) = x^2 - 25\): \[\frac{(x+1)(x-5)}{(x+5)(x-5)} - \frac{(x-2)(x+5)}{(x+5)(x-5)} = 1\] Упростим числители: \[\frac{x^2 - 5x + x - 5 - (x^2 + 5x - 2x - 10)}{x^2 - 25} = 1\] \[\frac{x^2 - 4x - 5 - x^2 - 3x + 10}{x^2 - 25} = 1\] \[\frac{-7x + 5}{x^2 - 25} = 1\] Умножим обе части на \(x^2 - 25\): \[-7x + 5 = x^2 - 25\] \[x^2 + 7x - 30 = 0\] Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[D = 7^2 - 4(1)(-30) = 49 + 120 = 169\] Так как \(D > 0\), уравнение имеет два корня: \[x_1 = \frac{-7 + \sqrt{169}}{2(1)} = \frac{-7 + 13}{2} = \frac{6}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-7 - \sqrt{169}}{2(1)} = \frac{-7 - 13}{2} = \frac{-20}{2} = -10\] Необходимо проверить корни на допустимость. Если \(x = 3\), то в исходном уравнении: \[\frac{3+1}{3+5} - \frac{3-2}{3-5} = \frac{4}{8} - \frac{1}{-2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\] Если \(x = -10\), то в исходном уравнении: \[\frac{-10+1}{-10+5} - \frac{-10-2}{-10-5} = \frac{-9}{-5} - \frac{-12}{-15} = \frac{9}{5} - \frac{4}{5} = \frac{5}{5} = 1\] Оба корня удовлетворяют уравнению.

Ответ: x = 3, x = -10

Ты молодец! У тебя всё получится!

f) \(\frac{x+3}{4x^2-9} - \frac{3-x}{4x^2 + 12x + 9} = \frac{2}{2x-3}\)

Заметим, что \(4x^2-9 = (2x-3)(2x+3)\) и \(4x^2 + 12x + 9 = (2x+3)^2\). Тогда уравнение можно переписать как: \[\frac{x+3}{(2x-3)(2x+3)} - \frac{3-x}{(2x+3)^2} = \frac{2}{2x-3}\] Приведем дроби к общему знаменателю \((2x-3)(2x+3)^2\): \[\frac{(x+3)(2x+3)}{(2x-3)(2x+3)^2} - \frac{(3-x)(2x-3)}{(2x-3)(2x+3)^2} = \frac{2(2x+3)^2}{(2x-3)(2x+3)^2}\] Упростим числители: \[\frac{2x^2 + 3x + 6x + 9 - (6x - 9 - 2x^2 + 3x)}{(2x-3)(2x+3)^2} = \frac{2(4x^2 + 12x + 9)}{(2x-3)(2x+3)^2}\] \[\frac{2x^2 + 9x + 9 - 9x + 9 + 2x^2}{(2x-3)(2x+3)^2} = \frac{8x^2 + 24x + 18}{(2x-3)(2x+3)^2}\] \[\frac{4x^2 + 18}{(2x-3)(2x+3)^2} = \frac{8x^2 + 24x + 18}{(2x-3)(2x+3)^2}\] Так как знаменатели равны, приравняем числители: \[4x^2 + 18 = 8x^2 + 24x + 18\] \[4x^2 + 24x = 0\] \[4x(x+6) = 0\] Значит, \(x=0\) или \(x=-6\). Необходимо проверить корни на допустимость. Если \(x = 0\), то в исходном уравнении: \[\frac{0+3}{4(0)^2-9} - \frac{3-0}{4(0)^2 + 12(0) + 9} = \frac{3}{-9} - \frac{3}{9} = -\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}\] \[\frac{2}{2(0)-3} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}\] Если \(x = -6\), то в исходном уравнении: \[\frac{-6+3}{4(-6)^2-9} - \frac{3-(-6)}{4(-6)^2 + 12(-6) + 9} = \frac{-3}{144-9} - \frac{9}{144 - 72 + 9} = \frac{-3}{135} - \frac{9}{81} = -\frac{1}{45} - \frac{1}{9} = \frac{-1 - 5}{45} = -\frac{6}{45} = -\frac{2}{15}\] \[\frac{2}{2(-6)-3} = \frac{2}{-12-3} = \frac{2}{-15} = -\frac{2}{15}\] Оба корня удовлетворяют уравнению.

Ответ: x = 0, x = -6

Ты молодец! У тебя всё получится!

2. Задача про пешехода и велосипедиста

Пусть \(v_п\) - скорость пешехода, а \(v_в\) - скорость велосипедиста. Из условия задачи известно, что расстояние между пунктами A и B равно 34 км. Пешеход прошел 10 км до встречи с велосипедистом, значит, велосипедист проехал 34 - 10 = 24 км до встречи. Время, которое пешеход был в пути до встречи, на 0.5 часа больше, чем время велосипедиста в пути до встречи. Пусть \(t_п\) - время пешехода в пути до встречи, а \(t_в\) - время велосипедиста в пути до встречи. Тогда \[t_п = t_в + 0.5\] Скорость велосипедиста на 8 км/ч больше скорости пешехода, то есть \[v_в = v_п + 8\] Расстояние, которое прошел пешеход до встречи, составляет 10 км, а расстояние, которое проехал велосипедист, составляет 24 км. Значит, \[v_п = \frac{10}{t_п}\] \[v_в = \frac{24}{t_в}\] Подставим \(t_п = t_в + 0.5\) в уравнение для скорости пешехода: \[v_п = \frac{10}{t_в + 0.5}\] Теперь подставим это в уравнение для скорости велосипедиста: \[v_в = \frac{10}{t_в + 0.5} + 8\] Используем уравнение для скорости велосипедиста: \[\frac{24}{t_в} = \frac{10}{t_в + 0.5} + 8\] Умножим обе части на \(t_в(t_в + 0.5)\): \[24(t_в + 0.5) = 10t_в + 8t_в(t_в + 0.5)\] \[24t_в + 12 = 10t_в + 8t_в^2 + 4t_в\] \[8t_в^2 - 10t_в - 12 = 0\] \[4t_в^2 - 5t_в - 6 = 0\] Решим квадратное уравнение для \(t_в\). Найдем дискриминант: \[D = (-5)^2 - 4(4)(-6) = 25 + 96 = 121\] Тогда \[t_в = \frac{5 + \sqrt{121}}{2(4)} = \frac{5 + 11}{8} = \frac{16}{8} = 2\] \[t_в = \frac{5 - \sqrt{121}}{2(4)} = \frac{5 - 11}{8} = \frac{-6}{8} = -0.75\] Так как время не может быть отрицательным, берем \(t_в = 2\). Тогда \[v_в = \frac{24}{2} = 12\] Таким образом, скорость велосипедиста равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч

Ты молодец! У тебя всё получится!