Вариант 2 Решите уравнения: 1.19 (3x) < 1g(x + 4); 2. logg (4-2x) ≥ 2; 3. log1(1-x) > -1; 2 4. log3 (x² + 2x) ≤ 1. 5. Найдите область определения функции у = 1g(3 – 2x – x²).

1. \[ \lg(3x) < \lg(x + 4) \]

• ОДЗ: \[ 3x > 0 \] и \[ x + 4 > 0 \], то есть \[ x > 0 \] и \[ x > -4 \]. Общая область: \[ x > 0 \].
• Так как логарифм по основанию 10 (больше 1), функция возрастающая, следовательно, можно убрать логарифмы, сохранив знак неравенства:
• \[ 3x < x + 4 \]
• \[ 2x < 4 \]
• \[ x < 2 \]
• Учитывая ОДЗ \[ x > 0 \], получаем интервал \[ 0 < x < 2 \].

2. \[ \log_8(4 - 2x) \ge 2 \]

• ОДЗ: \[ 4 - 2x > 0 \], то есть \[ 2x < 4 \] и \[ x < 2 \].
• Преобразуем неравенство: \[ \log_8(4 - 2x) \ge \log_8(8^2) \]
• \[ 4 - 2x \ge 64 \]
• \[ -2x \ge 60 \]
• \[ x \le -30 \]
• Учитывая ОДЗ \[ x < 2 \], получаем \[ x \le -30 \].

3. \[ \log_{\frac{1}{2}}(1 - x) > -1 \]

• ОДЗ: \[ 1 - x > 0 \], то есть \[ x < 1 \].
• Преобразуем неравенство: \[ \log_{\frac{1}{2}}(1 - x) > \log_{\frac{1}{2}}((\frac{1}{2})^{-1}) \]
• \[ \log_{\frac{1}{2}}(1 - x) > \log_{\frac{1}{2}}(2) \]
• Так как логарифм по основанию \( \frac{1}{2} \) (меньше 1), функция убывающая, следовательно, знак неравенства меняется:
• \[ 1 - x < 2 \]
• \[ -x < 1 \]
• \[ x > -1 \]
• Учитывая ОДЗ \[ x < 1 \], получаем интервал \[ -1 < x < 1 \].

4. \[ \log_3(x^2 + 2x) \ge 1 \]

• ОДЗ: \[ x^2 + 2x > 0 \], то есть \[ x(x + 2) > 0 \]. Решением является \[ x < -2 \] или \[ x > 0 \].
• Преобразуем неравенство: \[ \log_3(x^2 + 2x) \ge \log_3(3) \]
• Так как логарифм по основанию 3 (больше 1), функция возрастающая, следовательно, можно убрать логарифмы, сохранив знак неравенства:
• \[ x^2 + 2x \ge 3 \]
• \[ x^2 + 2x - 3 \ge 0 \]
• Найдем корни квадратного уравнения: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
• \[ D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \]
• \[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \]
• \[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \]
• Решением неравенства является \[ x \le -3 \] или \[ x \ge 1 \].
• Учитывая ОДЗ \[ x < -2 \] или \[ x > 0 \], получаем \[ x \le -3 \] или \[ x \ge 1 \].

5. \[ y = \lg(3 - 2x - x^2) \]

• Область определения: \[ 3 - 2x - x^2 > 0 \]
• \[ x^2 + 2x - 3 < 0 \]
• Найдем корни квадратного уравнения: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
• \[ D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \]
• \[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \]
• \[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \]
• Решением неравенства является интервал \[ -3 < x < 1 \].

Ответ: 1. \(0 < x < 2\); 2. \(x \le -30\); 3. \(-1 < x < 1\); 4. \(x \le -3 \) или \(x \ge 1\); 5. \(-3 < x < 1\)

Ответ: 1. \(0 < x < 2\); 2. \(x \le -30\); 3. \(-1 < x < 1\); 4. \(x \le -3 \) или \(x \ge 1\); 5. \(-3 < x < 1\)