Вариант 1 Решите уравнения: a) 1/x-3 = 1/5 б) 1/6x-17 = 1/5x-13 в) x²/6-x = 4x/6-x г) x²+x/x+3 = 6/x+3 д) x+4/x - 2x+10/x-4 = 0 e) 2/x-2 - x/x+2 = 2x+1/x²-4

Решим уравнения:

a) $$\frac{1}{x-3} = \frac{1}{5}$$

По свойству пропорции:

$$x - 3 = 5$$

$$x = 5 + 3$$

$$x = 8$$

Ответ: 8

---

б) $$\frac{1}{6x-17} = \frac{1}{5x-13}$$

По свойству пропорции:

$$6x - 17 = 5x - 13$$

$$6x - 5x = 17 - 13$$

$$x = 4$$

Ответ: 4

---

в) $$\frac{x^2}{6-x} = \frac{4x}{6-x}$$

Умножим обе части уравнения на $$(6-x)$$. При $$x
e 6$$:

$$x^2 = 4x$$

$$x^2 - 4x = 0$$

$$x(x - 4) = 0$$

$$x = 0$$ или $$x - 4 = 0$$

$$x = 0$$ или $$x = 4$$

Ответ: 0; 4

---

г) $$\frac{x^2+x}{x+3} = \frac{6}{x+3}$$

Умножим обе части уравнения на $$(x+3)$$. При $$x
e -3$$:

$$x^2 + x = 6$$

$$x^2 + x - 6 = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = -1$$

$$x_1 \cdot x_2 = -6$$

$$x_1 = -3$$; $$x_2 = 2$$

Т.к. $$x
e -3$$, то корень $$x = -3$$ - посторонний корень.

Ответ: 2

---

д) $$\frac{x+4}{x} - \frac{2x+10}{x-4} = 0$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{(x+4)(x-4) - x(2x+10)}{x(x-4)} = 0$$

$$\frac{x^2 - 16 - 2x^2 - 10x}{x(x-4)} = 0$$

$$\frac{-x^2 - 10x - 16}{x(x-4)} = 0$$

$$x^2 + 10x + 16 = 0$$, при $$x
e 0$$ и $$x
e 4$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = -10$$

$$x_1 \cdot x_2 = 16$$

$$x_1 = -2$$; $$x_2 = -8$$

Ответ: -2; -8

---

e) $$\frac{2}{x-2} - \frac{x}{x+2} = \frac{2x+1}{x^2-4}$$

$$\frac{2}{x-2} - \frac{x}{x+2} = \frac{2x+1}{(x-2)(x+2)}$$

$$\frac{2(x+2) - x(x-2) - (2x+1)}{(x-2)(x+2)} = 0$$

$$2x + 4 - x^2 + 2x - 2x - 1 = 0$$, при $$x
e 2$$ и $$x
e -2$$

$$-x^2 + 2x + 3 = 0$$

$$x^2 - 2x - 3 = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 2$$

$$x_1 \cdot x_2 = -3$$

$$x_1 = 3$$; $$x_2 = -1$$

Ответ: -1; 3