Вариант №2. Резки ВК-24см, КС-1см. Площадь треугольника АВС. 1. Длины диагоналей ромба равны 14см и 48см. Найти периметр ромба 2. Сторона равностороннего треугольника равна 14/3. Найти биссектрису этого треугольника . 3. В треугольнике АВС АВ=10см, ВС=17см, АС=21см. Найти высоту ВМ. 4. В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 15см и 9см, большее основание 20см. Найти площадь трапеции. 5. В треугольнике АВС АВ=АС, высота ВМ=9см и делит сторону АС на два отрезка так, что АМ=12см. Найти периметр и площадь треугольника АВС .

1. Длины диагоналей ромба равны 14 см и 48 см. Найти периметр ромба.

Решение:

• Периметр ромба равен \(4a\), где \(a\) - сторона ромба.
• Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения.
• По теореме Пифагора, половина каждой диагонали и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник: \[a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}\]
• Подставляем значения диагоналей: \[a = \sqrt{\left(\frac{14}{2}\right)^2 + \left(\frac{48}{2}\right)^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \text{ см}\]
• Периметр ромба: \[P = 4a = 4 \cdot 25 = 100 \text{ см}\]

2. Сторона равностороннего треугольника равна \(\frac{14}{\sqrt{3}}\) . Найти биссектрису этого треугольника.

Решение:

• В равностороннем треугольнике биссектриса является также медианой и высотой.
• Биссектриса \(h\) находится по формуле: \[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]
• Подставляем значение стороны: \[h = \frac{\frac{14}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ см}\]
• Биссектриса: \(\frac{14}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{14\sqrt{3}}{2}\)

3. В треугольнике ABC AB = 10 см, BC = 17 см, AC = 21 см. Найти высоту BM.

Решение:

• Используем формулу Герона для нахождения площади треугольника: \[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\], где \(p\) - полупериметр.
• Полупериметр: \[p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{10 + 17 + 21}{2} = \frac{48}{2} = 24 \text{ см}\]
• Площадь треугольника: \[S = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{7056} = 84 \text{ см}^2\]
• Высота BM находится по формуле: \[BM = \frac{2S}{AC} = \frac{2 \cdot 84}{21} = \frac{168}{21} = 8 \text{ см}\]

4. В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 15 см и 9 см, большее основание 20 см. Найти площадь трапеции.

Решение:

• Пусть меньшее основание равно \(b\). Проведём высоту из вершины меньшего основания к большему.
• Тогда образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой 15 см и катетом \(20 - b\). Высота трапеции равна 9 см.
• По теореме Пифагора: \[15^2 = 9^2 + (20-b)^2\] \[225 = 81 + (20-b)^2\] \[144 = (20-b)^2\] \[12 = 20 - b\] \[b = 8 \text{ см}\]
• Площадь трапеции: \[S = \frac{(a + b)h}{2} = \frac{(20 + 8) \cdot 9}{2} = \frac{28 \cdot 9}{2} = 14 \cdot 9 = 126 \text{ см}^2\]

5. В треугольнике ABC AB = AC, высота BM = 9 см и делит сторону AC на два отрезка так, что AM = 12 см. Найти периметр и площадь треугольника ABC.

Решение:

• Треугольник ABC - равнобедренный (AB = AC). Высота BM делит AC на отрезки AM и MC.
• MC = AM = 12 см (высота в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является медианой).
• AC = AM + MC = 12 + 12 = 24 см.
• AB = AC = 24 см.
• По теореме Пифагора для треугольника ABM: \[AB^2 = BM^2 + AM^2\] \[AB = \sqrt{BM^2 + AM^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}\]
• Периметр треугольника: \[P = AB + BC + AC = 15 + 15 + 24 = 54 \text{ см}\]
• Площадь треугольника: \[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 12 \cdot 9 = 108 \text{ см}^2\]

Result Card:

Твой статус: Цифровой атлет

Сэкономлено: Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс.

Социальный буст: Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке.