Вариант 2 school-pro.ги подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по математике 1. Решите неравенство 2x² - 15x + 27 > 0. 2. Решите неравенство -34x² + 13x + 15 ≥ 0. 3. Решите неравенство −x² + 1 ≥ 0. 4. Решите неравенство -4x² + 25 ≤ 0. 5. Решите неравенство -x² + 8x < 0. 6. Решите неравенство x² - 3x ≥ 0. 7. Решите неравенство 36x² - 84x + 49 ≤ 0. 8. Решите неравенство 4x² + 4x + 1 < 0.

1. Решите неравенство: 2x² - 15x + 27 > 0

Давай решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни квадратного уравнения:

\[2x^2 - 15x + 27 = 0\]

Используем дискриминант:

\[D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 27 = 225 - 216 = 9\]

Так как D > 0, у нас два различных корня:

\[x_1 = \frac{15 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{15 + 3}{4} = \frac{18}{4} = 4.5\] \[x_2 = \frac{15 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{15 - 3}{4} = \frac{12}{4} = 3\]

Теперь определим интервалы, где неравенство 2x² - 15x + 27 > 0 выполняется. Поскольку коэффициент при x² положительный, парабола направлена вверх. Значит, неравенство выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: x < 3 или x > 4.5

---

2. Решите неравенство: -34x² + 13x + 15 ≥ 0

Сначала решим квадратное уравнение:

\[-34x^2 + 13x + 15 = 0\]

Найдем дискриминант:

\[D = 13^2 - 4 \cdot (-34) \cdot 15 = 169 + 2040 = 2209 = 47^2\]

Теперь найдем корни:

\[x_1 = \frac{-13 + \sqrt{2209}}{2 \cdot (-34)} = \frac{-13 + 47}{-68} = \frac{34}{-68} = -0.5\] \[x_2 = \frac{-13 - \sqrt{2209}}{2 \cdot (-34)} = \frac{-13 - 47}{-68} = \frac{-60}{-68} = \frac{15}{17} \approx 0.88\]

Так как коэффициент при x² отрицательный, парабола направлена вниз. Нам нужно найти интервал, где -34x² + 13x + 15 ≥ 0, то есть выше оси x.

Ответ: -0.5 ≤ x ≤ 15/17

---

3. Решите неравенство: −x² + 1 ≥ 0

Перепишем неравенство в виде:

\[-x^2 + 1 \ge 0\] \[x^2 - 1 \le 0\] \[(x - 1)(x + 1) \le 0\]

Корни уравнения x² - 1 = 0:

\[x_1 = -1, \quad x_2 = 1\]

Поскольку коэффициент при x² положительный (после умножения на -1), парабола направлена вверх. Неравенство выполняется между корнями.

Ответ: -1 ≤ x ≤ 1

---

4. Решите неравенство: -4x² + 25 ≤ 0

Перепишем неравенство в виде:

\[-4x^2 + 25 \le 0\] \[4x^2 - 25 \ge 0\] \[(2x - 5)(2x + 5) \ge 0\]

Корни уравнения 4x² - 25 = 0:

\[x_1 = -\frac{5}{2} = -2.5, \quad x_2 = \frac{5}{2} = 2.5\]

Так как коэффициент при x² положительный, парабола направлена вверх. Неравенство выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: x ≤ -2.5 или x ≥ 2.5

---

5. Решите неравенство: -x² + 8x < 0

Вынесем x за скобки:

\[-x(x - 8) < 0\] \[x(x - 8) > 0\]

Корни уравнения x(x - 8) = 0:

\[x_1 = 0, \quad x_2 = 8\]

Так как коэффициент при x² положительный, парабола направлена вверх. Неравенство выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: x < 0 или x > 8

---

6. Решите неравенство: x² - 3x ≥ 0

Вынесем x за скобки:

\[x(x - 3) \ge 0\]

Корни уравнения x(x - 3) = 0:

\[x_1 = 0, \quad x_2 = 3\]

Так как коэффициент при x² положительный, парабола направлена вверх. Неравенство выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: x ≤ 0 или x ≥ 3

---

7. Решите неравенство: 36x² - 84x + 49 ≤ 0

Заметим, что это полный квадрат:

\[(6x - 7)^2 \le 0\]

Квадрат числа всегда неотрицателен. Единственный случай, когда (6x - 7)² ≤ 0, это когда (6x - 7)² = 0.

\[6x - 7 = 0\] \[6x = 7\] \[x = \frac{7}{6}\]

Ответ: x = 7/6

---

8. Решите неравенство: 4x² + 4x + 1 < 0

Заметим, что это полный квадрат:

\[(2x + 1)^2 < 0\]

Квадрат числа всегда неотрицателен. Значит, не существует x, при которых (2x + 1)² < 0.

Ответ: Нет решений

Ты отлично поработал! Решение неравенств может быть сложным, но ты справился с этим заданием на отлично. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!