Вариант 1 school-pro.ru подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по математике 1. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 2:13. Найдите меньший острый угол. Ответ дайте в градусах. 2. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 33°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах. 3. В прямоугольном треугольнике ТАМ с прямым углом М проведена высота MD. Найдите величину угла Т, если MD = 4, а АМ = 8. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ. 4. Углы треугольника SCZ относятся так: 2S:C:LZ=1:2:3. Биссектриса CR угла SCZ равна 80. Найдите длину отрезка RZ. Запишите решение и ответ. 5. В прямоугольном треугольнике COF угол О прямой, OF = 49, CF = 98. Биссектрисы углов OCF и COF пересекаются в точке Ѕ. Найдите величину угла CSO. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

1. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 2:13. Найдите меньший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Пусть один угол равен 2x, тогда другой 13x. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Составим уравнение:

\[2x + 13x = 90\] \[15x = 90\] \[x = \frac{90}{15}\] \[x = 6\]

Меньший острый угол равен 2x = 2 * 6 = 12°

Ответ: 12°

2. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 33°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Пусть один угол равен 33°, тогда другой угол равен:

\[90° - 33° = 57°\]

Ответ: 57°

3. В прямоугольном треугольнике ТАМ с прямым углом М проведена высота MD. Найдите величину угла Т, если MD = 4, а АМ = 8. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AMD. В нем известны катет MD = 4 и катет AM = 8.

Найдем тангенс угла A:

\[tg(A) = \frac{MD}{AM} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0.5\]

Угол A, тангенс которого равен 0.5, приблизительно равен 26.57°.

В прямоугольном треугольнике TAM, сумма острых углов равна 90°.

Угол T равен:

\[T = 90° - A = 90° - 26.57° ≈ 63.43°\]

Ответ: 63.43°

4. Углы треугольника SCZ относятся так: ∠S:∠C:∠Z=1:2:3. Биссектриса CR угла SCZ равна 80. Найдите длину отрезка RZ.

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Пусть угол S = x, угол C = 2x, угол Z = 3x.

Составим уравнение:

\[x + 2x + 3x = 180°\] \[6x = 180°\] \[x = 30°\]

Тогда ∠S = 30°, ∠C = 60°, ∠Z = 90°.

Треугольник SCZ прямоугольный, CR - биссектриса угла C, следовательно, ∠SCR = ∠RCZ = 30°.

Рассмотрим треугольник RCZ: ∠RCZ = 30°, ∠Z = 90°, следовательно, ∠CRZ = 180° - 30° - 90° = 60°.

В прямоугольном треугольнике RCZ катет RZ, прилежащий к углу в 60°, равен половине гипотенузы CR.

\[RZ = \frac{CR}{2} = \frac{80}{2} = 40\]

Ответ: 40

5. В прямоугольном треугольнике COF угол О прямой, OF = 49, CF = 98. Биссектрисы углов OCF и COF пересекаются в точке Ѕ. Найдите величину угла CSO. Ответ дайте в градусах.

В прямоугольном треугольнике COF, угол O прямой, OF = 49, CF = 98.

Найдем угол C:

\[sin(C) = \frac{OF}{CF} = \frac{49}{98} = \frac{1}{2}\]

Следовательно, угол C = 30°.

Тогда угол F = 90° - 30° = 60°.

Биссектрисы углов OCF и COF пересекаются в точке S, следовательно, углы OCS и FCS равны 15°, а углы OFS и CFS равны 30°.

Рассмотрим треугольник CSO: угол OCS равен 15°, угол COS равен 90°.

Следовательно, угол CSO = 180° - 90° - 15° = 75°.

Ответ: 75°