1 вариант 1. Сравните: a) logo,3 8,7 и logo, 3 7, 8 б) 1 + lg 3 и lg 29,2 2. Решите неравенства: 1) log3 (1-x) ≤ log3 4 2) logo, 8 2x < logo,8 (6 + 4x) 3) log2 (2x-1) ≥ 3 4) log>-2 5) 3 2 logo,2 x-4 <0 X 087 (3x + 6)>log7 (23)

Логика такая: так как основание логарифма 0.3 меньше 1, то функция убывает, и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поэтому, \(\log_{0.3} 8.7 < \log_{0.3} 7.8\).

Логика такая: преобразуем первое выражение, используя свойство логарифма \(\lg 10 = 1\). Получаем \(1 + \lg 3 = \lg 10 + \lg 3 = \lg (10 \cdot 3) = \lg 30\). Теперь сравним \(\lg 30\) и \(\lg 29.2\). Так как десятичный логарифм является возрастающей функцией, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поэтому, \(\lg 30 > \lg 29.2\), следовательно, \(1 + \lg 3 > \lg 29.2\).

Логика такая: так как основание логарифма 3 больше 1, то функция возрастает. Это означает, что мы можем отбросить логарифмы, сохранив знак неравенства: \(1 - x \le 4\). Решаем это неравенство: \(-x \le 3\), следовательно, \(x \ge -3\). Однако, необходимо также учесть область определения логарифма: \(1 - x > 0\), следовательно, \(x < 1\). Итоговый ответ: \(-3 \le x < 1\).

Логика такая: так как основание логарифма 0.8 меньше 1, то функция убывает. Это означает, что мы должны изменить знак неравенства, когда отбросим логарифмы: \(2x > 6 + 4x\). Решаем это неравенство: \(-2x > 6\), следовательно, \(x < -3\). Теперь учтем область определения логарифмов: \(2x > 0\) и \(6 + 4x > 0\). Из первого неравенства \(x > 0\), из второго \(x > -\frac{3}{2}\). Пересечение этих условий с полученным решением \(x < -3\) не дает решений.

Ответ: нет решений.

Логика такая: представим число 3 как логарифм по основанию 2: \(3 = \log_2 8\). Теперь неравенство выглядит так: \(\log_2 (2x - 1) \ge \log_2 8\). Так как основание логарифма 2 больше 1, то функция возрастает. Отбрасываем логарифмы, сохранив знак неравенства: \(2x - 1 \ge 8\). Решаем это неравенство: \(2x \ge 9\), следовательно, \(x \ge \frac{9}{2}\). Учитываем область определения логарифма: \(2x - 1 > 0\), следовательно, \(x > \frac{1}{2}\). Так как \(x \ge \frac{9}{2}\) удовлетворяет условию \(x > \frac{1}{2}\), итоговый ответ: \(x \ge \frac{9}{2}\).

Логика такая: представим число -2 как логарифм по основанию \(\frac{1}{3}\): \(-2 = \log_{\frac{1}{3}} 9\). Теперь неравенство выглядит так: \(\log_{\frac{1}{3}} x > \log_{\frac{1}{3}} 9\). Так как основание логарифма \(\frac{1}{3}\) меньше 1, то функция убывает. Изменяем знак неравенства, когда отбрасываем логарифмы: \(x < 9\). Учитываем область определения логарифма: \(x > 0\). Итоговый ответ: \(0 < x < 9\).

Логика такая: данное неравенство можно переписать как \((\log_{0.2} x)^2 - 4 < 0\). Это квадратное неравенство относительно \(\log_{0.2} x\). Решаем его: \((\log_{0.2} x - 2)(\log_{0.2} x + 2) < 0\). Корни уравнения: \(\log_{0.2} x = 2\) и \(\log_{0.2} x = -2\). Следовательно, \(x = 0.2^2 = 0.04\) и \(x = 0.2^{-2} = 25\). Так как коэффициент перед \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, и неравенство выполняется между корнями: \(0.04 < x < 25\). Учитываем область определения логарифма: \(x > 0\). Так как полученный интервал уже удовлетворяет этому условию, итоговый ответ: \(0.04 < x < 25\).

Логика такая: так как основание логарифма 7 больше 1, то функция возрастает. Отбрасываем логарифмы, сохранив знак неравенства: \(3^x + 6 > 2 \cdot 3^x\). Переносим все в одну сторону: \(6 > 3^x\). Логарифмируем обе части по основанию 3: \(\log_3 6 > x\), следовательно, \(x < \log_3 6\).