Вариант 1. Тренировочные работы по теме: «Производная. Исследование функции». 1. Дана функция: f(x) = x³-3x² + 4. Найдите : а) промежутки возрастания и убывания функции; 6) точки экстремума; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1; 4] 2. Постройте график функции f(x) = x³-3x² +4 3. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = 4√х в точке хо=4 окружающего его забора 4. Площадь прямоугольного участка 144см². При каких размерах участка длина окружан будет наименьшей? 5. Постройте график функции f(x) = x²-4 2 x² + 4 Вариант 2. 1. Дана функция: f(x) = 0,5x4 – 4x2. Найдите : а) промежутки возрастания и убывания функции; 6) точки экстремума; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [ -1; 3 ] •2. Постройте график функции f(x) = 0,5x4 – 4x² 3. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = - 6 в точке Xo=3 X 4. Площадь прямоугольного треугольника 6 см². Найдите наименьшее значение площади квадрата, построенного на гипотенузе треугольника. 8x 5. Постройте график функции f(x) = x² + 4

Ответ: Решения задач представлены ниже.

Вариант 1

1. Исследование функции f(x) = x³ - 3x² + 4

1. Находим производную функции:

   \[f'(x) = 3x^2 - 6x\]

2. Находим критические точки (где f'(x) = 0):

   \[3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0, x = 2\]

3. Определяем промежутки возрастания и убывания:
   • При x < 0: f'(x) > 0 (функция возрастает)
   • При 0 < x < 2: f'(x) < 0 (функция убывает)
   • При x > 2: f'(x) > 0 (функция возрастает)
4. Точки экстремума:
   • x = 0: точка максимума
   • x = 2: точка минимума
5. Наибольшее и наименьшее значения на отрезке [-1, 4]:
   • f(-1) = (-1)³ - 3(-1)² + 4 = -1 - 3 + 4 = 0
   • f(0) = 0³ - 3(0)² + 4 = 4
   • f(2) = 2³ - 3(2)² + 4 = 8 - 12 + 4 = 0
   • f(4) = 4³ - 3(4)² + 4 = 64 - 48 + 4 = 20

   Наибольшее значение: 20, наименьшее значение: 0

2. Построение графика функции f(x) = x³ - 3x² + 4

3. Уравнение касательной к графику f(x) = 4√x в точке x₀ = 4

1. Находим f'(x):

   \[f'(x) = \frac{4}{2\sqrt{x}} = \frac{2}{\sqrt{x}}\]

2. Находим f'(4):

   \[f'(4) = \frac{2}{\sqrt{4}} = \frac{2}{2} = 1\]

3. Находим f(4):

   \[f(4) = 4\sqrt{4} = 4 \cdot 2 = 8\]

4. Уравнение касательной:

   \[y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) = 1(x - 4) + 8 = x + 4\]

4. Площадь прямоугольного участка 144 см²

Пусть стороны прямоугольника a и b, тогда ab = 144. Необходимо минимизировать P = 2(a + b)

1. Выражаем b через a:

   \[b = \frac{144}{a}\]

2. Периметр:

   \[P = 2(a + \frac{144}{a})\]

3. Находим производную P'(a):

   \[P'(a) = 2(1 - \frac{144}{a^2})\]

4. Приравниваем P'(a) к 0:

   \[1 - \frac{144}{a^2} = 0 \implies a^2 = 144 \implies a = 12\]

5. Находим b:

   \[b = \frac{144}{12} = 12\]

Размеры участка: 12 см х 12 см (квадрат)

5. Построение графика функции f(x) = (x² - 4) / (x² + 4)

Вариант 2

1. Исследование функции f(x) = 0.5x⁴ - 4x²

1. Находим производную функции:

   \[f'(x) = 2x^3 - 8x\]

2. Находим критические точки (где f'(x) = 0):

   \[2x^3 - 8x = 0 \implies 2x(x^2 - 4) = 0 \implies x = 0, x = -2, x = 2\]

3. Определяем промежутки возрастания и убывания:
   • При x < -2: f'(x) < 0 (функция убывает)
   • При -2 < x < 0: f'(x) > 0 (функция возрастает)
   • При 0 < x < 2: f'(x) < 0 (функция убывает)
   • При x > 2: f'(x) > 0 (функция возрастает)
4. Точки экстремума:
   • x = -2: точка минимума
   • x = 0: точка максимума
   • x = 2: точка минимума
5. Наибольшее и наименьшее значения на отрезке [-1, 3]:
   • f(-1) = 0.5(-1)⁴ - 4(-1)² = 0.5 - 4 = -3.5
   • f(0) = 0.5(0)⁴ - 4(0)² = 0
   • f(2) = 0.5(2)⁴ - 4(2)² = 0.5 * 16 - 16 = 8 - 16 = -8
   • f(3) = 0.5(3)⁴ - 4(3)² = 0.5 * 81 - 36 = 40.5 - 36 = 4.5

   Наибольшее значение: 4.5, наименьшее значение: -8

2. Построение графика функции f(x) = 0.5x⁴ - 4x²

3. Уравнение касательной к графику f(x) = -6/x в точке x₀ = 3

1. Находим f'(x):

   \[f'(x) = \frac{6}{x^2}\]

2. Находим f'(3):

   \[f'(3) = \frac{6}{3^2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\]

3. Находим f(3):

   \[f(3) = -\frac{6}{3} = -2\]

4. Уравнение касательной:

   \[y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) = \frac{2}{3}(x - 3) - 2 = \frac{2}{3}x - 2 - 2 = \frac{2}{3}x - 4\]

4. Площадь прямоугольного треугольника 6 см²

Пусть катеты a и b, гипотенуза c. Площадь треугольника S = (1/2)ab = 6. Тогда ab = 12.

Нам нужно минимизировать площадь квадрата, построенного на гипотенузе: c² = a² + b²

1. Выражаем b через a:

   \[b = \frac{12}{a}\]

2. c² = a² + b² = a² + (12/a)² = a² + 144/a²
3. Находим производную (c²)'(a):

   \[(c^2)'(a) = 2a - \frac{288}{a^3}\]

4. Приравниваем (c²)'(a) к 0:

   \[2a - \frac{288}{a^3} = 0 \implies 2a = \frac{288}{a^3} \implies a^4 = 144 \implies a = \sqrt[4]{144} = 2\sqrt{3}\]

5. Находим b:

   \[b = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\]

6. Находим c²:

   \[c^2 = (2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 = 12 + 12 = 24\]

Наименьшее значение площади квадрата: 24 см²

5. Построение графика функции f(x) = 8x / (x² + 4)

Ответ: Решения задач представлены выше.