Вариант 3 1 Упростите выражение: 1) 1 - sin² 8a cos² 80 - 1 - tg11actg11α; 2) cos3ẞcos 5ẞ – sin 3ẞ sin 5ẞ; 3) 6 sin2 10α ; sin 20a 4) sin 12a + sin 8a ; coslla + cos 7a 5) sin²(π + 2α) – sin² ( 3π 2 + 2α) ; 6) 2sin11acos 5a - sin 6a. 2 Решите уравнение: 1) cos+=1; π 1 2) sin 6x-=; 6 2' 3) ctg² 5x - ctg 5x = 0. 3 Решите уравнение: 1) 4sin²x-8 cosx + 1 = 0; 2) 2cos² 2x - 2sin 4x + 1 = 0; 3) cos7x + cos 8x + cos9x = 0. i 4 Решите уравнение sin10x + cos 10x = -√2 sin 8x.

Привет! Сейчас мы вместе решим эти задания. Будет немного сложно, но я уверена, что у нас всё получится!

1) \[\frac{1 - \sin^2 8\alpha}{\cos^2 8\alpha - 1} - \operatorname{tg}11\alpha \cdot \operatorname{ctg}11\alpha;\]

Давай разберем по порядку:

1. Упростим дробь, используя тригонометрические тождества:
   • \(1 - \sin^2 8\alpha = \cos^2 8\alpha\)
   • \(\cos^2 8\alpha - 1 = -\sin^2 8\alpha\)
2. Тогда дробь будет равна:\[\frac{\cos^2 8\alpha}{-\sin^2 8\alpha} = -\operatorname{ctg}^2 8\alpha\]
3. Упростим произведение тангенса и котангенса:\[\operatorname{tg}11\alpha \cdot \operatorname{ctg}11\alpha = 1\]
4. Подставим все в исходное выражение:\[-\operatorname{ctg}^2 8\alpha - 1 = -(\operatorname{ctg}^2 8\alpha + 1) = -\frac{1}{\sin^2 8\alpha}\]

Ответ: \[-\frac{1}{\sin^2 8\alpha}\]

2) \(\cos 3\beta \cos 5\beta - \sin 3\beta \sin 5\beta\)

Это формула косинуса суммы:\[\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\] В нашем случае:\[\cos(3\beta + 5\beta) = \cos(8\beta)\] Ответ: \(\cos(8\beta)\)

3) \(\frac{6 \sin^2 10\alpha}{\sin 20\alpha}\)

Используем формулу синуса двойного угла:\[\sin 2x = 2 \sin x \cos x\] В нашем случае:\[\sin 20\alpha = 2 \sin 10\alpha \cos 10\alpha\] Подставим в исходное выражение:\[\frac{6 \sin^2 10\alpha}{2 \sin 10\alpha \cos 10\alpha} = \frac{3 \sin 10\alpha}{\cos 10\alpha} = 3 \operatorname{tg} 10\alpha\] Ответ: \(3 \operatorname{tg} 10\alpha\)

4) \(\frac{\sin 12\alpha + \sin 8\alpha}{\cos 11\alpha + \cos 7\alpha}\)

Используем формулы суммы синусов и суммы косинусов:

• \[\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}\]
• \[\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}\]

В нашем случае:

• \[\sin 12\alpha + \sin 8\alpha = 2 \sin \frac{12\alpha + 8\alpha}{2} \cos \frac{12\alpha - 8\alpha}{2} = 2 \sin 10\alpha \cos 2\alpha\]
• \[\cos 11\alpha + \cos 7\alpha = 2 \cos \frac{11\alpha + 7\alpha}{2} \cos \frac{11\alpha - 7\alpha}{2} = 2 \cos 9\alpha \cos 2\alpha\]

Подставим в исходное выражение:\[\frac{2 \sin 10\alpha \cos 2\alpha}{2 \cos 9\alpha \cos 2\alpha} = \frac{\sin 10\alpha}{\cos 9\alpha}\] Ответ: \[\frac{\sin 10\alpha}{\cos 9\alpha}\]

5) \(\sin^2(\pi + 2\alpha) - \sin^2(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha)\)

Используем формулы приведения:

• \[\sin(\pi + x) = -\sin x\]
• \[\sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cos x\]

В нашем случае:

• \[\sin(\pi + 2\alpha) = -\sin 2\alpha\]
• \[\sin(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha) = -\cos 2\alpha\]

Тогда выражение будет равно:\[(-\sin 2\alpha)^2 - (-\cos 2\alpha)^2 = \sin^2 2\alpha - \cos^2 2\alpha = -\cos 4\alpha\] Ответ: \(-\cos 4\alpha\)

6) \(2 \sin 11\alpha \cos 5\alpha - \sin 6\alpha\)

Используем формулу синуса суммы и разности:

• \[\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y\]
• \[\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y\]

Сложим эти формулы:\[\sin(x + y) + \sin(x - y) = 2 \sin x \cos y\] В нашем случае:\[2 \sin 11\alpha \cos 5\alpha = \sin(11\alpha + 5\alpha) + \sin(11\alpha - 5\alpha) = \sin 16\alpha + \sin 6\alpha\] Подставим в исходное выражение:\[\sin 16\alpha + \sin 6\alpha - \sin 6\alpha = \sin 16\alpha\] Ответ: \(\sin 16\alpha\)

1) \(\cos(\frac{x}{8} + \frac{\pi}{4}) = 1\)

Общий вид решения уравнения \(\cos x = 1\) это \(x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\) В нашем случае:\[\frac{x}{8} + \frac{\pi}{4} = 2\pi k\] Решим относительно x:\[\frac{x}{8} = 2\pi k - \frac{\pi}{4}\]\[x = 16\pi k - 2\pi\] Ответ: \(x = 16\pi k - 2\pi, k \in \mathbb{Z}\)

2) \(\sin(6x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\)

Общий вид решения уравнения \(\sin x = \frac{1}{2}\) это \(x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) В нашем случае:\[6x - \frac{\pi}{6} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k\] Решим относительно x:\[6x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k + \frac{\pi}{6}\]\[x = \frac{(-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k + \frac{\pi}{6}}{6}\]\[x = \frac{(-1)^k \pi + 6\pi k + \pi}{36}\] Ответ: \[x = \frac{(-1)^k \pi + 6\pi k + \pi}{36}, k \in \mathbb{Z}\]

3) \(\operatorname{ctg}^2 5x - \operatorname{ctg} 5x = 0\)

Вынесем общий множитель:\[\operatorname{ctg} 5x (\operatorname{ctg} 5x - 1) = 0\] Тогда либо \(\operatorname{ctg} 5x = 0\), либо \(\operatorname{ctg} 5x = 1\)

• \[\operatorname{ctg} 5x = 0 \Rightarrow 5x = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}\]
• \[\operatorname{ctg} 5x = 1 \Rightarrow 5x = \frac{\pi}{4} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \[x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}\]

1) \(4 \sin^2 x - 8 \cos x + 1 = 0\)

Выразим \(\sin^2 x\) через \(\cos^2 x\):\[4 (1 - \cos^2 x) - 8 \cos x + 1 = 0\]\[4 - 4 \cos^2 x - 8 \cos x + 1 = 0\]\[-4 \cos^2 x - 8 \cos x + 5 = 0\]\[4 \cos^2 x + 8 \cos x - 5 = 0\] Сделаем замену \(y = \cos x\):\[4 y^2 + 8 y - 5 = 0\] Решим квадратное уравнение:\[D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144\]\[y_1 = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 + 12}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\]\[y_2 = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 - 12}{8} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2}\] Вернемся к замене:

• \[\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]
• \[\cos x = -\frac{5}{2}\] - нет решений, так как \(|\cos x| \le 1\)

Ответ: \[x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

2) \(2 \cos^2 2x - 2 \sin 4x + 1 = 0\)

Выразим \(\cos^2 2x\) через \(\sin^2 2x\):\[2 (1 - \sin^2 2x) - 2 \sin 4x + 1 = 0\]\[2 - 2 \sin^2 2x - 2 \sin 4x + 1 = 0\]\[-2 \sin^2 2x - 2 \sin 4x + 3 = 0\]\[2 \sin^2 2x + 2 \sin 4x - 3 = 0\] Используем формулу синуса двойного угла:\[\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x\] Подставим в исходное выражение:\[2 \sin^2 2x + 4 \sin 2x \cos 2x - 3 = 0\] Сделаем замену \(y = \sin 2x\):\[2 y^2 + 4 y \cos 2x - 3 = 0\] Выразим \(\cos 2x\) через \(\sin 2x\):\[\cos 2x = \pm \sqrt{1 - \sin^2 2x}\] Подставим в исходное выражение:\[2 y^2 + 4 y (\pm \sqrt{1 - y^2}) - 3 = 0\]\[4 y (\pm \sqrt{1 - y^2}) = 3 - 2 y^2\] Возведем обе части в квадрат:\[16 y^2 (1 - y^2) = (3 - 2 y^2)^2\]\[16 y^2 - 16 y^4 = 9 - 12 y^2 + 4 y^4\]\[20 y^4 - 28 y^2 + 9 = 0\] Сделаем замену \(z = y^2\):\[20 z^2 - 28 z + 9 = 0\] Решим квадратное уравнение:\[D = (-28)^2 - 4 \cdot 20 \cdot 9 = 784 - 720 = 64\]\[z_1 = \frac{28 + \sqrt{64}}{2 \cdot 20} = \frac{28 + 8}{40} = \frac{36}{40} = \frac{9}{10}\]\[z_2 = \frac{28 - \sqrt{64}}{2 \cdot 20} = \frac{28 - 8}{40} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}\] Вернемся к замене:

• \[y^2 = \frac{9}{10} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\frac{9}{10}} = \pm \frac{3}{\sqrt{10}}\]
• \[y^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Вернемся к замене:

• \[\sin 2x = \pm \frac{3}{\sqrt{10}} \Rightarrow x = \frac{1}{2} \arcsin(\pm \frac{3}{\sqrt{10}}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}\]
• \[\sin 2x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow x = \frac{1}{2} \arcsin(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \[x = \frac{1}{2} \arcsin(\pm \frac{3}{\sqrt{10}}) + \pi k, x = \frac{1}{2} \arcsin(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}\]

3) \(\cos 7x + \cos 8x + \cos 9x = 0\)

Сгруппируем \(\cos 7x\) и \(\cos 9x\):\[(\cos 7x + \cos 9x) + \cos 8x = 0\] Используем формулу суммы косинусов:\[\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}\] В нашем случае:\[\cos 7x + \cos 9x = 2 \cos \frac{7x + 9x}{2} \cos \frac{7x - 9x}{2} = 2 \cos 8x \cos (-x) = 2 \cos 8x \cos x\] Подставим в исходное выражение:\[2 \cos 8x \cos x + \cos 8x = 0\]\[\cos 8x (2 \cos x + 1) = 0\] Тогда либо \(\cos 8x = 0\), либо \(2 \cos x + 1 = 0\)

• \[\cos 8x = 0 \Rightarrow 8x = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, k \in \mathbb{Z}\]
• \[2 \cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \[x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

\(\sin 10x + \cos 10x = -\sqrt{2} \sin 8x\)

Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{2}\):\[\frac{1}{\sqrt{2}} \sin 10x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 10x = -\sin 8x\] Заметим, что \(\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4}\):\[\sin \frac{\pi}{4} \sin 10x + \cos \frac{\pi}{4} \cos 10x = -\sin 8x\] Используем формулу косинуса разности:\[\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y\] В нашем случае:\[\cos(10x - \frac{\pi}{4}) = -\sin 8x\] Так как \(\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)\), то \(-\sin 8x = \cos(\frac{\pi}{2} + 8x)\):\[\cos(10x - \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2} + 8x)\] Тогда:\[10x - \frac{\pi}{4} = \pm (\frac{\pi}{2} + 8x) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

• \[10x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 8x + 2\pi k \Rightarrow 2x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{3\pi}{8} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\]
• \[10x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} - 8x + 2\pi k \Rightarrow 18x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{72} + \frac{\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \[x = \frac{3\pi}{8} + \pi k, x = -\frac{\pi}{72} + \frac{\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}\]

Ты проделал большую работу! Не останавливайся на достигнутом, и у тебя всё получится!