Вариант 1 1.В ДАВС сторона АС = 5 см, ∠B = 30°, ∠A = 45°. Найдите стороны АВ и ВС. 2.В ДАВС сторона ВС = 5 см, ∠B = 42°, ∠C=120°. Найдите стороны АС, AB, LA, SABC. 3.Β ΔΑΒΟ ΔΑ = 48°, АВ = 4м, АС = 7 м. Найдите сторону ВС.

1. Рассмотрим треугольник ABC. Из теоремы синусов:

$$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$$

Дано: $$AC = 5 \text{ см}$$, $$\angle B = 30^\circ$$, $$\angle A = 45^\circ$$.

Найдем угол C:

$$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$$

Найдем сторону AB:

$$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \Rightarrow AB = \frac{AC \cdot \sin C}{\sin B} = \frac{5 \cdot \sin 105^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{5 \cdot \sin 105^\circ}{0.5} = 10 \cdot \sin 105^\circ$$

$$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

$$AB = 10 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{5(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} \approx \frac{5(2.45 + 1.41)}{2} = \frac{5 \cdot 3.86}{2} = \frac{19.3}{2} = 9.65 \text{ см}$$

Найдем сторону BC:

$$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \Rightarrow BC = \frac{AC \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{5 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{0.5} = 5\sqrt{2} \approx 5 \cdot 1.41 = 7.05 \text{ см}$$

Ответ: $$AB = \frac{5(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} \approx 9.65 \text{ см}$$, $$BC = 5\sqrt{2} \approx 7.05 \text{ см}$$

2. Рассмотрим треугольник ABC. Из теоремы синусов:

$$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$$

Дано: $$BC = 5 \text{ см}$$, $$\angle B = 42^\circ$$, $$\angle C = 120^\circ$$.

Найдем угол A:

$$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 42^\circ - 120^\circ = 18^\circ$$

Найдем сторону AC:

$$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{5 \cdot \sin 42^\circ}{\sin 18^\circ} \approx \frac{5 \cdot 0.669}{0.309} \approx \frac{3.345}{0.309} \approx 10.83 \text{ см}$$

Найдем сторону AB:

$$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} \Rightarrow AB = \frac{BC \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{5 \cdot \sin 120^\circ}{\sin 18^\circ} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin 18^\circ} = \frac{5\sqrt{3}}{2 \sin 18^\circ} \approx \frac{5 \cdot 1.732}{2 \cdot 0.309} = \frac{8.66}{0.618} = 14 \text{ см}$$

Найдем площадь треугольника ABC:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AB \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 14 \cdot \sin 42^\circ \approx \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 14 \cdot 0.669 = 35 \cdot 0.669 = 23.415 \text{ см}^2$$

Ответ: $$AC \approx 10.83 \text{ см}$$, $$AB \approx 14 \text{ см}$$, $$\angle A = 18^\circ$$, $$S_{ABC} = 23.415 \text{ см}^2$$

3. Рассмотрим треугольник ABC. По теореме косинусов:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$$

Дано: $$\angle A = 48^\circ$$, $$AB = 4 \text{ м}$$, $$AC = 7 \text{ м}$$.

$$BC^2 = 4^2 + 7^2 - 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cos 48^\circ = 16 + 49 - 56 \cdot \cos 48^\circ \approx 65 - 56 \cdot 0.669 = 65 - 37.464 = 27.536$$

$$BC = \sqrt{27.536} \approx 5.25 \text{ м}$$

Ответ: $$BC \approx 5.25 \text{ м}$$