3 вариант 1. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С катет ВС = 12 см, а тангенс угла В равен 5/6. Найдите катет АС прямоугольного треугольника. 2. В треугольнике АВС проведена средняя линия МД. Площадь треугольника АВС равна 140 см². Найдите площадь треугольника АМД. 3. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ = 4 см, ВС = 4 см, АС = 2 см. 4. Докажите, что треугольник не является прямоугольным, если длины его сторон равны 17, 9 и 11 см соответственно. 5. Sin a = 2/5. Найти cos а и tg a. 6. В равнобедренной трапеции АВСД АВ = СД = 9 см, ВС = 8 см, АД = 20 см. Найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла А трапеции.

Задание 1

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, катет BC = 12 см, тангенс угла B равен 5/6. Нужно найти катет AC.

Решение:

Тангенс угла B определяется как отношение противолежащего катета AC к прилежащему катету BC:

\[ tg(B) = \frac{AC}{BC} \]

Дано tg(B) = 5/6 и BC = 12 см, следовательно:

\[ \frac{5}{6} = \frac{AC}{12} \]

Решаем уравнение относительно AC:

\[ AC = \frac{5}{6} \cdot 12 = 10 \]

Ответ: AC = 10 см.

Задание 2

В треугольнике ABC проведена средняя линия МД. Площадь треугольника ABC равна 140 см². Необходимо найти площадь треугольника АМД.

Решение:

Средняя линия треугольника делит его на четыре равных треугольника, каждый из которых имеет площадь в четыре раза меньше, чем площадь исходного треугольника.

Площадь треугольника АМД составляет 1/4 от площади треугольника ABC:

\[ S_{АМД} = \frac{1}{4} \cdot S_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot 140 = 35 \]

Ответ: Площадь треугольника АМД равна 35 см².

Задание 3

Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 4 см, BC = 4 см, AC = 2 см.

Решение:

Используем формулу Герона для нахождения площади треугольника:

Полупериметр треугольника:

\[ p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{4 + 4 + 2}{2} = 5 \]

Площадь треугольника:

\[ S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} = \sqrt{5(5 - 4)(5 - 4)(5 - 2)} = \sqrt{5 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 3} = \sqrt{15} \approx 3.87 \]

Ответ: Площадь треугольника ABC равна √15 см² (примерно 3.87 см²).

Задание 4

Докажите, что треугольник не является прямоугольным, если длины его сторон равны 17, 9 и 11 см соответственно.

Решение:

Для того чтобы доказать, что треугольник не является прямоугольным, проверим теорему Пифагора:

Если бы треугольник был прямоугольным, то выполнялось бы условие:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

где c - гипотенуза (самая длинная сторона).

Проверим для заданных сторон:

\[ 9^2 + 11^2 = 81 + 121 = 202 \] \[ 17^2 = 289 \]

Так как 202 ≠ 289, то теорема Пифагора не выполняется, и треугольник не является прямоугольным.

Ответ: Треугольник со сторонами 17, 9 и 11 см не является прямоугольным.

Задание 5

Sin α = 2/5. Найти cos α и tg α.

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество:

\[ sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1 \]

Подставляем значение sin α:

\[ (\frac{2}{5})^2 + cos^2(\alpha) = 1 \] \[ \frac{4}{25} + cos^2(\alpha) = 1 \] \[ cos^2(\alpha) = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25} \] \[ cos(\alpha) = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5} \]

Теперь найдем tg α:

\[ tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}} = \frac{2}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{21}}{21} \]

Ответ: cos α = √21/5, tg α = 2√21/21

Задание 6

В равнобедренной трапеции ABCD, AB = CD = 9 см, BC = 8 см, AD = 20 см. Найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла A трапеции.

Решение:

Проведем высоты BH и CK к основанию AD. Тогда AH = KD = (AD - BC) / 2 = (20 - 8) / 2 = 6 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора найдем высоту BH:

\[ BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{9^2 - 6^2} = \sqrt{81 - 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \]

Теперь найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла A:

\[ sin(A) = \frac{BH}{AB} = \frac{3\sqrt{5}}{9} = \frac{\sqrt{5}}{3} \] \[ cos(A) = \frac{AH}{AB} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \] \[ tg(A) = \frac{sin(A)}{cos(A)} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \] \[ ctg(A) = \frac{1}{tg(A)} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]

Ответ: sin A = √5/3, cos A = 2/3, tg A = √5/2, ctg A = 2√5/5