2 вариант. 4. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 12см и составляет с меньшей диагональю угол 45°. Найдите площадь трапеции, если ее тупой угол равен 135°

Решение:

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AB и CD - основания, AD - высота, BC - боковая сторона, ∠ABC = 135°, CD = 12 см, ∠ACD = 45°.

1. Проведём высоту CK к основанию AB. Рассмотрим треугольник ΔCBK: ∠CBK = 180° - 135° = 45°, ∠CKB = 90°, значит, ∠BCK = 180° - 90° - 45° = 45°. Следовательно, ΔCBK - равнобедренный, и CK = KB.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD: ∠ACD = 45°, ∠ADC = 90°, значит, ∠CAD = 180° - 90° - 45° = 45°. Следовательно, ΔACD - равнобедренный, и AD = CD = 12 см.

3. Так как AD = CK, то CK = 12 см. Следовательно, KB = 12 см.

4. Найдём большее основание AB: AB = AK + KB = CD + KB = 12 + 12 = 24 см.

5. Площадь трапеции ABCD равна: \[S = \frac{AB + CD}{2} \cdot AD = \frac{24 + 12}{2} \cdot 12 = \frac{36}{2} \cdot 12 = 18 \cdot 12 = 216 \text{ см}^2.\]

Ответ: 216 см²